国際数学オリンピック · 2024年

問題

第1問すべての正の整数 $n$ に対して、整数 $\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor$ が $n$ で割り切れるような実数 $\alpha$ をすべて求めよ。解答: 1
第2問正の整数の組 $(a,b)$ のうち、数列 $\gcd(a^n+b,b^n+a)$ （ $n=1,2,\ldots$ ）が最終的に定数となるのはどのようなものか。解答: 1
第3問正の整数からなる無限数列 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ と正の整数 $N$ を考える。各 $n>N$ に対して、 $a_n$ はリスト $(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})$ の中に $a_{n-1}$ が現れる回数に等しいとする。数列 $a_1,a_3,a_5,\ldots$ と $a_2,a_4,a_6,\ldots$ の少なくとも一方は、ある時点から周期的になることを証明せよ。解答: 1
第4問内心 $I$ を持つ三角形 $ABC$ は $AB<AC<BC$ を満たすとする。直線 $BC$ 上の点 $X$ （ $C$ とは異なる）を、 $X$ を通り $AC$ に平行な直線が内接円に接するように取る。同様に、直線 $BC$ 上の点 $Y$ （ $B$ とは異なる）を、 $Y$ を通り $AB$ に平行な直線が内接円に接するように取る。直線 $AI$ は三角形 $ABC$ の外接円と再び点 $P$ で交わる。 $K$ 、 $L$ をそれぞれ $AC$ 、 $AB$ の中点とする。 $\angle KIL+\angle YPX=180^\circ$ であることを証明せよ。解答: 1
第5問カタツムリのタートルは、2024行2023列のグリッドの最上段の行にいて、最下段の行に到達したいと考えている。しかし、最初と最後の行を除く各行にちょうど1匹ずつ、合計2022匹の隠れたモンスターがいて、どの二匹も同じ列にはいない。タートルは最初の行から最後の行へ到達するために何度も試行を行う。各試行では、最初の行の好きなマスから出発し、その後は上下左右に隣接するマスへの移動を繰り返す（すでに訪れたマスに戻ることも許される）。もしタートルがモンスターのいるマスに到達すると、その試行は終了し、タートルは最初の行に戻されて新しい試行を始める。モンスターは試行の間に動かず、タートルは自分が訪れた各マスにモンスターがいたかどうかを覚えている。最後の行のいずれかのマスに到達すると、その試行は終了しタートルの勝利となる。モンスターの配置によらず、タートルが高々 $n$ 回の試行で最下段の行に到達できることを保証する戦略が存在するような、最小の整数 $n$ を求めよ。解答: 1
第6問関数 $f:\mathbb Q\to\mathbb Q$ が、すべての $x,y\in\mathbb Q$ に対して $f(x+f(y))=f(x)+y$ または $f(f(x)+y)=x+f(y)$ を満たすとき、aquaesulian であるという。任意の aquaesulian 関数 $f$ に対して、ある有理数 $r$ を用いた $f(r)+f(-r)$ の形の相異なる有理数が高々 $c$ 個しか存在しないような整数 $c$ が存在することを示し、そのような $c$ の最小値を求めよ。解答: 1