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未解決問題、算術と数論、1985年に提起

abc予想

未解決

互いに素な正の整数 aa, bb, cc が a+b=ca+b=c を満たすとき、任意の ε>0\varepsilon > 0 に対し、c>rad⁡(abc)1+ε,c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}, を満たす組はたかだか有限個しか存在しない。ここで rad⁡(n)\operatorname{rad}(n) は nn を割り切る相異なる素数の積を表す。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、abc予想は数学の主流において未解決の問題として扱われている。望月が主張するIUTによる証明は2021年にPRIMSに掲載されたが、系3.12付近のギャップを指摘したショルツェとスティックスの2018年の報告は、より広い数学コミュニティが納得する形では解決されておらず、Lean証明支援系を用いたProject LANAなどの形式検証の試みも、これまでのところ問題となっている手順を確認できていない。京都を中心とする小さな集団を除けば、この予想が証明済みとみなす数論学者はほとんどいない。

既知の最良の結果

  • 無条件の有効評価(スチュワート–ユー、2001年)は cc と rad⁡(abc)\operatorname{rad}(abc) を関係づけるが、予想される多項式型の評価よりもはるかに弱いままである。
  • 多項式版であるメイソン–ストサーズの定理は無条件に証明されており、この予想が整数について主張する内容のモデルとなっている。
  • 望月の宇宙際タイヒミュラー理論は完全な証明を主張している(2012年のプレプリントに始まり、2021年にPRIMSに掲載)が、ショルツェとスティックスの2018年の報告は未解決のギャップを指摘しており、この主張は京都以外の大多数の数論学者には受け入れられていない。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
初等的・解析的な有効評価(スチュワート–タイデマン、スチュワート–ユー)cc と rad⁡(abc)\operatorname{rad}(abc) を関係づける、無条件だがはるかに弱い評価予想される多項式型の評価との間に指数的なギャップが残る
宇宙際タイヒミュラー理論(望月)完全な証明を主張し、PRIMS(2021年)に掲載された系3.12付近で指摘されたギャップ(ショルツェ–スティックス、2018年)は未解決のままであり、この主張は分野の大多数には受け入れられておらず、形式化の試み(Project LANA)もこの手順を確認できていない

未解決の問い

  • abc予想は正しいのか。
  • 望月のIUTによる議論は修正できるのか、反証されるのか、あるいは形式的に検証できるのか — もしできないなら、広く受け入れられる証明や反例とはどのようなものになるのか。

参考文献

  1. Joseph Oesterlé (1988). Nouvelles approches du "théorème" de Fermat
  2. Peter Scholze, Jakob Stix (2018). Why abc is still a conjecture
  3. Shinichi Mochizuki (2021). Inter-universal Teichmüller theory IV: Log-volume computations and set-theoretic foundations