未解決問題、算術と数論, 代数学、1927年に提起

原始根に関するアルティンの予想

未解決

$-1$ でも平方数でもない任意の整数 $a$ は、無限に多くの素数 $p$ に対して法 $p$ の原始根となり、さらに $a$ が累乗数でなくその無平方部分が $1 \pmod{4}$ と合同でないとき、そのような素数の集合は全素数の中で漸近密度 $C_{\mathrm{Artin}} = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) \approx 0.3739558136$ をもつ。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、原始根に関するアルティンの予想は無条件には未解決であり、特定の整数 $a$ (たとえば $a=2$ や $a=10$ )に対して $a$ が無限に多くの素数を法として原始根となることが証明された例はただ1つも存在しない。クンマー体 $\mathbb{Q}(\zeta_q, a^{1/q})$ に対する一般リーマン予想を仮定すれば、1967年のフーリーの定理により完全な漸近公式が得られる。無条件の結果としては、原始根の乗法的構造を陳型の線形篩およびボンビエリ–ヴィノグラードフ型の分布評価と組み合わせることで、予想が成り立たない素数底の例外集合の要素数は高々 $2$ であり(ヒース＝ブラウン、1986年)、乗法的に独立な任意の3つの整数(符号や平方に関する緩い条件付き)のうち少なくとも1つは無限に多くの素数で原始根となることが分かっている。

既知の最良の結果

一般リーマン予想を仮定すると、平方数でないすべての整数 $a \ne -1$ に対してアルティン予想は正確な漸近密度とともに成り立つ(フーリー、1967年)。
無条件に、アルティン予想が成り立たない素数 $q$ は高々2個しか存在しない。したがって $2$ 、 $3$ 、 $5$ のうち少なくとも1つは無限に多くの素数を法として原始根となる(ヒース＝ブラウン、1986年)。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
クンマー拡大におけるチェボタレフの密度定理	$\langle a \rangle$ の指数が $q$ で割り切れる素数 $p$ を $\mathbb{Q}(\zeta_q, a^{1/q})$ における $p$ の分解によって特徴づけ、GRHのもとで正確な条件付き密度を与える。	拡大次数 $[\mathbb{Q}(\zeta_q, a^{1/q}):\mathbb{Q}] \approx q(q-1)$ が $x$ とともに増大するとき、チェボタレフの密度定理における無条件の誤差項では評価が弱すぎる。
線形篩と乗法的従属性の議論(グプタ–ムルティ、ヒース＝ブラウン)	$p-1$ が有界個の素因数しか持たない素数 $p$ ( $p-1 = 2q$ や $2q_1 q_2$ など)を構成し、反例となり得る素数底の個数を高々 $2$ 個に制限した。	非構成的である。指標和の評価に複数の独立な生成元にわたる平均化が必要なため、単独の整数 $a$ に対する真偽は確定できない。

未解決の問い

$2$ (あるいは $10$ )が無限に多くの素数を法として原始根となることを無条件に証明できるか。
例外となり得る素数底の集合の大きさを、無条件に $2$ から $1$ または $0$ へと減らせるか。

参考文献

Christopher Hooley (1967). On Artin's conjecture · DOI:10.1515/crll.1967.225.209
D. R. Heath-Brown (1986). Artin's Conjecture for Primitive Roots · DOI:10.1093/qmath/37.1.27
M. Ram Murty (1988). Artin's conjecture on primitive roots: an update · DOI:10.1007/BF03023749