未解決問題、算術と数論、1993年に提起

ビール予想

未解決

$A, B, C, x, y, z$ が $x, y, z > 2$ を満たす正の整数であり、 $A^x + B^y = C^z$ が成り立つならば、 $A, B,$ および $C$ は共通の素因数を持つ。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、ビール予想は未解決であり、AMSの USD $1{,}000{,}000$ の賞金も未獲得のままである。ワイルズのモジュラー性手法(フライ曲線とリベットのレベル下げ定理)をシャボティ–コールマンの $p$ 進積分や超楕円曲線の手法と組み合わせることで、(既知のカタラン解 $1^n + 2^3 = 3^2$ を除いた上で) $(p, p, 2)$ 、 $(p, p, 3)$ 、および様々な範囲の $n$ に対する $(2, 3, n)$ を含む多くの無限族の指数組 $(x, y, z)$ について互いに素な解が存在しないことが証明されている。しかし、3つの独立に変化する指数 $(x, y, z)$ を同時に扱うことは、現在のフライ曲線の構成法の限界を超えている。

既知の最良の結果

ダルモンとグランヴィル(1995年): $1/x + 1/y + 1/z < 1$ を満たす任意の固定された組 $(x, y, z)$ に対して、 $A^x + B^y = C^z$ の互いに素な整数解は有限個しか存在しない。
モジュラー手法とシャボティ法により、素数 $p \ge 3$ に対する $(p, p, 2)$ や $(p, p, 3)$ 、および $(3, 3, n)$ や $(4, 4, n)$ などの多くの指数族が完全に解決されている。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
モジュラー性とフライ–エレゴアシュ曲線	フェルマーの最終定理( $x = y = z \ge 3$ )を証明し、 $(p, p, 2)$ や $(p, p, 3)$ のような族に対する互いに素な解を排除する	3つの指数 $x, y, z$ がすべて独立に変化する場合、すべての組に対応する $\mathbb{Q}$ 上の単一のフライ曲線が知られていない
分岐被覆を通じたファルティングスの定理(ダルモン–グランヴィル)	$1/x + 1/y + 1/z < 1$ を満たす個々の固定された指数組 $(x, y, z)$ ごとに互いに素な解の有限性を証明する	ファルティングスの定理は非効果的(明示的な上界を与えない)であり、すべての指数に対して一様ではなく1つの組 $(x, y, z)$ ごとにしか適用できない

未解決の問い

$x, y, z \ge 3$ のもとで $A^x + B^y = C^z$ の互いに素な整数解は存在するか。
総実体上のフライ表現や超幾何モチーフによって、3つの独立な素数指数 $(p, q, r)$ を扱うことができるか。

参考文献

R. Daniel Mauldin (1997). A generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem
Henri Darmon, Andrew Granville (1995). On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = Cz^r · DOI:10.1112/blms/27.6.513
Henri Cohen (2007). Number Theory, Volume II: Analytic and Modern Tools · DOI:10.1007/978-0-387-49894-2