未解決問題、算術と数論、1965年に提起

バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

未解決ミレニアム賞

楕円曲線 $E$ ( $\mathbb{Q}$ 上)のハッセ・ヴェイユ $L$ 関数を $L(E,s)$ とするとき、モーデル・ヴェイユ群 $E(\mathbb{Q})$ の階数は、 $L(E,s)$ の $s=1$ における消滅位数に等しい: $\operatorname{rank} E(\mathbb{Q}) = \operatorname{ord}_{s=1} L(E,s).$ さらに精密化された予想では、 $L(E,s)$ の $s=1$ におけるテイラー展開の主要係数を、テイト・シャファレヴィッチ群 $Ш(E)$ の位数、レギュレーター、実周期、玉河数、ねじれ部分群の位数によって与える。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、BSDの階数部分が証明されているのは解析的階数が0または1の楕円曲線のみである(グロス–ザギエ、コリヴァギン、保型性と組み合わせて)。解析的階数が2以上の場合は、無条件には本質的に何も知られていない。統計的な結果(バルガヴァ–スキナー–チャン)は、高さで順序付けた $\mathbb{Q}$ 上のほとんどの楕円曲線が既知の階数0/1の場合に該当することを示しているが、これは個々の高階数の曲線については何も語らない。テイト・シャファレヴィッチ群の一般的な有限性を含む、L関数の主要係数についての精密化された公式は依然として予想のままである。

既知の最良の結果

グロス–ザギエ(1986年)とコリヴァギン(1989年)を、保型性(ワイルズら、ブルイユ–コンラッド–ダイアモンド–テイラーにより2001年完成)と組み合わせると:解析的階数が0または1であるときBSDの階数部分が成り立つ。
バルガヴァ–スキナー–チャン(2014年):高さで順序付けた $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線の66%以上が、BSDの階数部分を満たし、テイト・シャファレヴィッチ群が有限である。
解析的階数が2以上の曲線については、ヒーグナー点によるオイラー系の類似物が知られていないため、無条件には本質的に何も分かっていない。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
ヒーグナー点とオイラー系(グロス–ザギエ、コリヴァギン)	解析的階数0および1についてBSDの階数部分を証明する	この構成には解析的階数2以上の場合の類似物が知られていない
岩澤主予想(スキナー–アーバン)と数の幾何学によるカウント(バルガヴァ–シャンカー)	高さで順序付けたほとんどの楕円曲線がBSDを満たすことを示す	個々の高階数の曲線については何も分からない

未解決の問い

解析的階数が2以上のすべての楕円曲線について、BSDの階数部分は成り立つか。
$\mathbb{Q}$ 上のすべての楕円曲線についてテイト・シャファレヴィッチ群は有限であるか、そして精密化されたBSDの完全な公式は一般に成り立つか。

参考文献

Bryan J. Birch, H.P.F. Swinnerton-Dyer (1965). Notes on elliptic curves. II.
Benedict H. Gross, Don B. Zagier (1986). Heegner points and derivatives of L-series
Victor A. Kolyvagin (1990). Euler systems
Manjul Bhargava, Christopher Skinner, Wei Zhang (2014). A majority of elliptic curves over Q satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture · arXiv:1407.1826 [プレプリント・未査読]