未解決問題、算術と数論、1876年に提起

ブロカールの問題

未解決

ディオファントス方程式 $n! + 1 = m^2$ は、 $(4, 5)$ 、 $(5, 11)$ 、 $(7, 71)$ 以外に整数解 $(n, m)$ を持つか。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、ブロカールの問題は未解決であり、 $n! + 1 = m^2$ の解の個数が有限であるかどうかさえ無条件には知られていない。 $abc$ 予想を仮定すれば、根基 $\mathrm{rad}(n!(m-1)(m+1))$ が高々 $m \prod_{p \le n} p \approx m e^{(1+o(1))n}$ であり $m^2 = n! + 1 \approx (n/e)^n$ よりはるかに小さいため、オーヴァーホルトの1993年の議論により $n$ は直ちに上から抑えられる。計算面では、平方剰余篩によって $7 < n \le 10^{15}$ の範囲に解が存在しないことが確認されており、 $(4,5)$ 、 $(5,11)$ 、 $(7,71)$ が唯一のブラウン数であることはほぼ確実視されている。

既知の最良の結果

オーヴァーホルト(1993年): $abc$ 予想を仮定すると、方程式 $n! + 1 = m^2$ は有限個の整数解しか持たない。
バーントとゴールウェイ(2000年)およびその後の計算: $7 < n \le 10^{15}$ の範囲には解が存在しない。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
$abc$ 予想を用いた根基の評価(オーヴァーホルト–ドンブロフスキ–ルカ)	$n!$ が多数の素数べきで割り切れる性質を利用して、 $n! + 1 = m^2$ や $n! = P(x)$ の解の条件付き有限性を証明する	未解決の $abc$ 予想に依存しており、 $p$ 進対数の一次形式から得られる無条件の評価は $n!$ の増大に追いつくには弱すぎる
平方剰余を用いたモジュラー篩	補助素数 $p > n$ に対して $-1 \equiv n! \pmod{p}$ などの平方剰余判定を行い、 $7 < n \le 10^{15}$ を排除する	$n$ の有限範囲しか検証できず、すべての整数にわたって解を排除することはできない

未解決の問い

$n! + 1 = m^2$ の解が有限個しか存在しないことを無条件に証明できるか。
$(4, 5)$ 、 $(5, 11)$ 、 $(7, 71)$ は唯一のブラウン数であるか。

参考文献

Marius Overholt (1993). The factorial equation n! + 1 = m^2 · DOI:10.1112/blms/25.2.104
Andrzej Dąbrowski (1996). On the Diophantine equation x! + A = y^2
Bruce C. Berndt, William F. Galway (2000). On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation n! + 1 = m^2 · DOI:10.1023/A:1009873805276