バーンサイド問題

既知の最良の結果

• 制限バーンサイド問題はすべての $m$ と $n$ で成り立ち、生成元 $m$ 個・指数 $n$ の任意の有限群の位数は関数 $f(m, n)$ で上から抑えられる（素数 $n$ はコストリキン 1958年、素数べき $n$ はゼルマノフ 1990〜1991年、一般の $n$ はホール–ヒグマン 1956年の帰着）。$B(2, 5)$ の最大の有限商群 $R(2, 5)$ の位数は $5^{34}$ である（ハヴァス、ニューマン、ヴォーン＝リー 1990年）。
• 自由バーンサイド群 $B(m, n)$（$m \ge 2$）は $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ で有限であり、すべての奇数 $n \ge 665$（ノヴィコフ–アディアン 1968年、アディアン 1975年）および十分大きな偶数指数（イワノフ 1994年、リセノク 1996年）で無限である。

使われた手法と限界

未解決の問い

• 階数 $2$・指数 $5$ の自由バーンサイド群 $B(2, 5)$ は（位数 $5^{34}$ の）有限群か、それとも無限群か。
• $B(2, n)$ が無限群となる最小の指数 $n$ は何か。