未解決問題、算術と数論, 微分方程式と力学系、1937年に提起

コラッツの予想

未解決

$f(n) = n/2$ ( $n$ が偶数のとき)、 $f(n) = 3n+1$ ( $n$ が奇数のとき)と定める。この予想は、すべての正の整数 $n$ に対して $f$ を繰り返し適用すると必ず $1$ に到達すると主張する。

提起者, 1937ローター・コラッツ

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、この予想は未解決のままである。タオの2019年の結果は、厳密な密度の意味で、ほぼすべての軌道が小さくなることを示しているが、対数密度がゼロの例外的な初期値の集合が無限大に発散したり、 $4\to2\to1$ 以外の未発見の周期に入ったりする可能性を排除してはいない。網羅的なコンピュータ探索により、約 $2^{71}$ 未満のすべての初期値について予想が検証されており、反例や新たな周期は見つかっていない。

既知の最良の結果

タオ(2019年):対数密度の意味で、ほぼすべての軌道は無限大に発散する任意の関数(例えば $\log\log\log n$ )を下回る値に到達する。
網羅的なコンピュータ検証により、約 $2^{71}$ までのすべての初期値について予想が確認されており、反例は見つかっていない。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
シラキュース写像の確率論的・エルゴード的モデル	厳密な密度1の意味で、ほぼすべての軌道が小さくなることを示す(タオ、2019年)	対数密度ゼロの例外的な軌道が発散したり未知の周期に入ったりする可能性を排除できない
網羅的なコンピュータ探索	約 $2^{71}$ 未満に反例がないことを確認する	$\mathbb{N}$ は無限であるため、すべての整数について証明することはできない

未解決の問い

密度1だけでなく、例外なくすべての軌道が1に到達するのか。
$4\to2\to1$ 以外の周期、あるいは発散する軌道は存在するのか。

参考文献

Terence Tao (2022). Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values · arXiv:1909.03562
Jeffrey C. Lagarias (ed.) (2010). The 3x+1 problem: An overview, in The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem
Jeffrey C. Lagarias (1985). The 3x+1 problem and its generalizations