素数ギャップに関するクラメールの予想

既知の最良の結果

• 無条件の上界:十分大きなすべての $n$ に対して $p_{n+1} - p_n \ll p_n^{0.525}$(ベイカー、ハーマン、ピンツ、2001年)。
• 条件付き上界:リーマン予想のもとで $p_{n+1} - p_n = O(\sqrt{p_n}\log p_n)$(クラメール、1920年)。
• 無条件の下界:無限にたびたび $p_{n+1} - p_n \gg \frac{\log p_n \log\log p_n \log\log\log\log p_n}{\log\log\log p_n}$ が成り立つ(フォード、グリーン、コニャーギン、メイナード、タオ、2014年)。

使われた手法と限界

未解決の問い

• リーマン予想やモンゴメリの対相関予想を仮定したとしても、何らかの指数 $\theta < 1/2$ に対して $p_{n+1} - p_n \ll p_n^{\theta}$ を証明できるか。
• $\limsup_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n)/(\log p_n)^2$ の真の値は $1$(クラメール)か、$2e^{-\gamma} \approx 1.1229$(グランヴィル)か、それともさらに大きいのか。