未解決問題、算術と数論, 解析学、1849年に提起

ディリクレの約数問題

未解決

$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とし、オイラー・マスケローニ定数 $\gamma$ を用いて $D(x) = \sum_{n \le x} d(n) = x\log x + (2\gamma - 1)x + \Delta(x)$ とおく。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $x \to \infty$ のとき $\Delta(x) = O(x^{\theta+\varepsilon})$ が成り立つような指数 $\theta$ の下限を決定せよ。 $\theta = \tfrac{1}{4}$ と予想されている。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、ディリクレの約数問題は未解決であり、真の指数 $\theta$ は区間 $[\tfrac{1}{4}, \tfrac{131}{416}]$ に含まれる(変数変換 $x = r^2$ のもとでガウスの円問題の指数範囲のちょうど半分に対応する)。査読済みの上界の最良記録は2003年のマーティン・ハクスリーによる $\theta \le \tfrac{131}{416} \approx 0.31490$ である(ブルガンとワットによるデカップリングを用いた $\tfrac{517}{1648} \approx 0.31371$ を目指すプレプリント研究もある)。平均的には、トン(1956年)やヒース＝ブラウン(1992年)により $\int_1^T \Delta(x)^2\,dx \sim c T^{3/2}$ が示されており、 $|\Delta(x)|$ の二乗平均平方根は $x^{1/4}$ のオーダーである。またサウンダララジャン(2003年)は振動評価 $\Delta(x) = \Omega\!\left(x^{1/4}(\log x)^{1/4}(\log\log x)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log x)^{-5/8}\right)$ を証明している。

既知の最良の結果

出版済みの上界: $\Delta(x) = O\!\left(x^{131/416}(\log x)^{26947/8320}\right)$ 、したがって $\theta \le \tfrac{131}{416} \approx 0.31490$ (ハクスリー、2003年)。
二乗平均と極限分布: $\int_1^T \Delta(x)^2\,dx \sim c T^{3/2}$ が成り立ち、 $x^{-1/4}\Delta(x)$ は非ガウス型の連続極限分布をもつ(ヒース＝ブラウン、1992年、1999年)。
振動下界: $\Delta(x) = \Omega\!\left(x^{1/4}(\log x)^{1/4}(\log\log x)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log x)^{-5/8}\right)$ (サウンダララジャン、2003年)。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
ヴォロノイの和公式とペロンの周回積分	$\Delta(x)$ を $\zeta(s)^2 x^s / s$ の周回積分、あるいは打ち切りベッセル級数 $\frac{x^{1/4}}{\pi\sqrt{2}} \sum_{n \le N} d(n) n^{-3/4} \cos(4\pi\sqrt{nx} - \tfrac{\pi}{4}) + O(x^{1/2+\varepsilon}N^{-1/2})$ として表す。	リンデレーフ予想( $\zeta(\tfrac{1}{2}+it) = O(t^{\varepsilon})$ )を仮定しても、 $x^{it}$ の位相相殺を利用しなければ、ペロン積分路を $\mathrm{Re}(s) = \tfrac{1}{2}$ へ移すだけでは $\Delta(x) = O(x^{1/2+\varepsilon})$ しか得られない。
指数対とボンビエリ–イヴァニエッツ–ハクスリーの離散ハーディ–リトルウッド法	位相 $\sqrt{nx}$ をもつ二重指数和を評価し、 $\theta \le \tfrac{131}{416}$ を確立した。	指数対予想 $(k, l) = (\varepsilon, \tfrac{1}{2}+\varepsilon)$ が成り立てば $\theta = \tfrac{1}{4}$ が従うが、既知の A 変換・B 変換やデカップリング評価は $(\varepsilon, \tfrac{1}{2}+\varepsilon)$ には遠く及ばない。

未解決の問い

すべての $\varepsilon > 0$ に対して $\Delta(x) = O(x^{1/4+\varepsilon})$ は成り立つか。
$k \ge 3$ のピルツの約数問題において、すべての $\varepsilon > 0$ に対して $\Delta_k(x) = O(x^{(k-1)/(2k)+\varepsilon})$ は成り立つか。

参考文献

G. H. Hardy (1916). On Dirichlet's divisor problem · DOI:10.1112/plms/s2_15.1.1
Henryk Iwaniec, C. J. Mozzochi (1988). On the divisor problem, and the circle problem · DOI:10.1016/0022-314X(88)90025-X
Martin N. Huxley (2003). Exponential sums and lattice points III · DOI:10.1112/S0024611503014485
K. Soundararajan (2003). Omega results for the divisor and circle problems · DOI:10.1155/S1073792803130929