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未解決問題、算術と数論、1882年に提起

e + π と e·π の無理性

未解決

実数 e+πe + \pi と eπe\pi は無理数であるか。より一般に、ee と π\pi は Q\mathbb{Q} 上代数的独立であるか。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、e+πe + \pi や eπe\pi が無理数であるかどうかは依然として未解決である。ネステレンコ(1996年)は虚数乗法点 τ=i\tau = i におけるアイゼンシュタイン級数が満たす微分方程式を利用して π\pi と eπe^\pi の代数的独立性を証明したが、e=e1e = e^1 は πi\pi i の有理数倍ではなく 11 における指数関数の値に対応するため、モジュラー関数の手法では ee と π\pi を同時に捉えることができない。一方、リンデマン–ワイエルシュトラスの定理やベイカーの定理は代数的点 zz における eze^z の値を扱うが、iπi\pi は超越数である。

既知の最良の結果

  • 基本対称式の関係:ee と π\pi は x2−(e+π)x+eπ=0x^2 - (e+\pi)x + e\pi = 0 の根であり、ともに超越数であるため、e+πe + \pi と eπe\pi の少なくとも一方は超越数である。
  • ネステレンコ(1996年):π\pi と eπe^\pi は Q\mathbb{Q} 上代数的独立である(したがって π+eπ\pi + e^\pi と πeπ\pi e^\pi は超越数である)。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
リンデマン–ワイエルシュトラスの定理と対数の一次形式ee の超越性(e1e^1 が超越数)および π\pi の超越性(eiπ=−1e^{i\pi} = -1 が代数的数であるため iπi\pi が超越数)を証明する入力 zz または値 eze^z のいずれかが代数的であることを必要とし、ez1=ee^{z_1} = e が超越数となる z1=1z_1 = 1 と z2z_2 自体が超越数である z2=iπz_2 = i\pi を同時に結びつけられない
ラマヌジャン・アイゼンシュタインモジュラー関数に対する零点評価(ネステレンコの手法)π\pi、eπe^\pi、Γ(1/4)\Gamma(1/4) が Q\mathbb{Q} 上代数的独立であることを証明する虚数乗法点 τ\tau におけるモジュラー・ノーム q=e2πiτq = e^{2\pi i \tau} の値は e−πe^{-\pi} のような数を生み出すが、e=e1e = e^1 は生み出さない

未解決の問い

  • e+πe + \pi と eπe\pi はともに無理数(かつ超越数)であるか。
  • ee と π\pi は Q\mathbb{Q} 上代数的独立であるか。

参考文献

  1. Alan Baker (1975). Transcendental Number Theory · DOI:10.1017/CBO9780511565977
  2. Yuri V. Nesterenko (1996). Modular functions and transcendence questions · DOI:10.1070/SM1996v187n09ABEH000158
  3. Michel Waldschmidt (2000). Diophantine Approximations and Transcendental Numbers · DOI:10.1007/978-3-662-11569-5