未解決問題、算術と数論, 解析学、1834年に提起

ガウスの円問題

未解決

原点を中心とする半径 $r$ の円の内部にある格子点の個数を $N(r) = \#\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2 : m^2 + n^2 \le r^2\}$ とし、 $N(r) = \pi r^2 + E(r)$ とおく。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $r \to \infty$ のとき $E(r) = O(r^{\theta+\varepsilon})$ が成り立つような指数 $\theta$ の下限を決定せよ。 $\theta = \tfrac{1}{2}$ と予想されている。

提起者, 1834カール・フリードリヒ・ガウス

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、ガウスの円問題は未解決であり、真の指数 $\theta$ は区間 $[\tfrac{1}{2}, \tfrac{131}{208}]$ に含まれることが知られている。上界側では、2003年のマーティン・ハクスリーによる査読済み評価 $\theta \le \tfrac{131}{208} \approx 0.62981$ (ブルガンとワットによるデカップリングを用いた $\tfrac{517}{824} \approx 0.62743$ を主張する2017年のプレプリントは2023年に撤回され、リー・ヤン2023年など後続のデカップリング系プレプリントがこの方向を継いでいる)が指数和手法の基準となっている。下界および確率論的側面では、ヒース＝ブラウン(1999年)が $r^{-1/2}E(r)$ が非ガウス型の極限分布をもつことを証明し、サウンダララジャン(2003年)が振動下界を $E(r) = \Omega\!\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}(\log\log r)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log r)^{-5/8}\right)$ へと改良している。

既知の最良の結果

出版済みの上界: $E(r) = O\!\left(r^{131/208}(\log r)^{18627/8320}\right)$ 、したがって $\theta \le \tfrac{131}{208} \approx 0.62981$ (ハクスリー、2003年)。
二乗平均の漸近式: $\int_1^T |E(r)|^2\,dr = c T^2 + O(T^{3/2+\varepsilon})$ 。これは平均的には $|E(r)|$ が $O(r^{1/2})$ であることを示す。
振動下界: $E(r) = \Omega\!\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}(\log\log r)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log r)^{-5/8}\right)$ (サウンダララジャン、2003年)。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
ハーディ–ヴォロノイのベッセル級数恒等式とポアソン和公式	$E(r)$ をベッセル関数の級数 $r \sum_{n=1}^{\infty} r_2(n) n^{-1/2} J_1(2\pi r\sqrt{n})$ に展開し、格子点の数え上げを振動する指数和の評価へと変換する。	ヴォロノイ級数を長さ $N$ で打ち切ると $O(r N^{-1/2})$ の平滑化誤差が生じるため、 $\theta = \tfrac{1}{2}$ に到達するには $N \approx r$ までの完全な平方根相殺を示す必要がある。
離散ハーディ–リトルウッド法(ボンビエリ–イヴァニエッツ–モッツォッキ、ハクスリー)	位相関数の有理近似と大篩法の共鳴評価を適用し、指数を $\theta \le \tfrac{131}{208}$ まで引き下げた。	短い区間上での位相の局所的な多項式近似に依拠しているため、周波数 $\sqrt{n}$ の大域的な算術的独立性を捉えることができない。

未解決の問い

すべての $\varepsilon > 0$ に対して $E(r) = O(r^{1/2+\varepsilon})$ は成り立つか。
$r \to \infty$ における $|E(r)| / r^{1/2}$ の最大オーダーに現れる $\log r$ の正確なべき指数は何か。

参考文献

G. H. Hardy (1915). On the expression of a number as the sum of two squares
Henryk Iwaniec, C. J. Mozzochi (1988). On the divisor and circle problems · DOI:10.1016/0022-314X(88)90049-7
Martin N. Huxley (2003). Exponential sums and lattice points III · DOI:10.1112/S0024611503014485