未解決問題、組合せ論と離散数学, 代数学、1893年に提起

アダマール予想

未解決

すべての正の整数 $k \ge 1$ に対し、位数 $n = 4k$ のアダマール行列が存在する。すなわち、成分が $\{-1, +1\}$ からなり、各行が互いに直交して $H H^{\mathsf{T}} = n I_n$ を満たす $n \times n$ 行列 $H \in \{-1, +1\}^{n \times n}$ が存在する。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、一般のアダマール予想は未解決であり、すべての $n = 4k$ に対してアダマール行列が存在することの証明はなく、アダマール行列が存在する $4$ の倍数の集合が正の自然密度をもつことすら証明されていない。一方で、ペイリー行列、ウィリアムソンおよびゲータルス・ザイデルの巡回ブロック配列、トゥリン基底系列、そして2026年のAI援用ブロック探索を組み合わせることで、 $n = 2000$ 以下のすべての $4$ の倍数について明示的なアダマール行列が構成されている。漸近的には、ド・ローネイとゴードン（2001年）が拡張リーマン予想のもとで、位数 $4m$ のアダマール行列が存在する $m \le x$ の個数が少なくとも $\frac{x}{\log x} e^{(C + o(1))(\log\log\log x)^2}$ であることを証明している。

既知の最良の結果

$q_i \equiv 3 \pmod 4$ および $r_j \equiv 1 \pmod 4$ を素数べきとするとき、 $n = 2^a 12^b 20^c \prod (q_i + 1) \prod 2(r_j + 1)$ の無限族に対してアダマール行列の存在が証明されている（シルヴェスター 1867年、ペイリー 1933年）。
$n = 2000$ 以下のすべての $4$ の倍数について明示的なアダマール行列が構成されている（2005年のカラガニ・タイフェ＝レザイエによる位数 $428$ や2026年の位数 $668$ を含む）。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
$\mathbb{F}_q$ 上のペイリー平方剰余差集合	$\mathbb{F}_q$ 上のヤコブスタール行列の指標和の直交性を利用して、位数 $q + 1$ （ $q \equiv 3 \pmod 4$ ）および $2(q + 1)$ （ $q \equiv 1 \pmod 4$ ）のアダマール行列を構成した。	素数べきは整数全体の中で漸近密度ゼロ $\Theta(x / \log x)$ しかもたないため、クロネッカー積を併用しても無限に多くの合成数位数 $n = 4k$ が残される。
ゲータルス・ザイデル配列、 $T$ -系列、巡回ブロック分解	位数 $4m$ のアダマール行列の構成を、自己相関の和がゼロとなる（ $AA^{\mathsf{T}} + BB^{\mathsf{T}} + CC^{\mathsf{T}} + DD^{\mathsf{T}} = 4m I_m$ ）4つの $m \times m$ 巡回 $\pm 1$ 行列 $A, B, C, D$ の探索に帰着させ、 $2000$ 以下の個別の未解決位数を解決した。	各長さ $m$ ごとに個別の有限組合せ探索を必要とし、すべての整数 $m \ge 1$ に対する統一的な代数的証明を与えない。

未解決の問い

位数 $4k$ のアダマール行列が存在するような正の整数 $k$ の集合は、正の下漸近密度をもつか。
すべての $4$ の倍数に対して、 $S^{\mathsf{T}} = -S$ を満たす歪アダマール行列 $H = I_n + S$ が存在するか。

参考文献

Jacques Hadamard (1893). Résolution d'une question relative aux déterminants
Raymond E. A. C. Paley (1933). On orthogonal matrices · DOI:10.1002/sapm1933121311
Hadi Kharaghani, Behruz Tayfeh-Rezaie (2005). A Hadamard matrix of order 428 · DOI:10.1002/jcd.20043
Epoch AI (2026). Hadamard Matrix of Order 668 — FrontierMath: Open Problems