未解決問題、幾何学、1950年に提起

ハイルブロンの三角形問題

未解決

平面内の面積 $1$ のコンパクト凸領域（単位正方形 $[0,1]^2$ や単位面積の円板など）に配置された $n \ge 3$ 個の点に対し、そのうちの3点がなす三角形の最小面積をすべての $n$ 点配置にわたって最大化した上限を $\Delta(n)$ とする。 $n \to \infty$ のときの $\Delta(n)$ の漸近的な増大オーダーを決定せよ。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、ハイルブロンの三角形問題は依然として大きく開かれており、最良の下界 $\Delta(n) = \Omega(\log n / n^2)$ （コムローシュ・ピンツ・セメレディ、1982年）と最良の上界 $\Delta(n) \le n^{-7/6 + o(1)}$ （コーエン・ポホアタ・ザハロフ、2024年、`arXiv:2409.07658`）の間には大きな多項式的ギャップがある。1981年にコムローシュ、ピンツ、セメレディが $\Delta(n) \le n^{-8/7 + o(1)}$ を証明して以来、上界の指数 $8/7 \approx 1.1429$ は40年以上破られていなかったが、コーエン、ポホアタ、ザハロフがロスの帯状領域論法を点と $\delta$ -チューブのマルチスケール接続問題として再定式化することで、2023年に $8/7 + 1/2000$ （`arXiv:2305.18253`）、続いて2024年に $7/6 \approx 1.1667$ へと更新した。

既知の最良の結果

上界： $\Delta(n) \le n^{-7/6 + o(1)}$ （アレックス・コーエン、コスミン・ポホアタ、ドミトリー・ザハロフ、2024年、`arXiv:2409.07658`）。
下界： $\Delta(n) = \Omega(\log n / n^2)$ （ヤーノシュ・コムローシュ、ヤーノシュ・ピンツ、エンドレ・セメレディ、1982年）。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
高低周波フーリエ法とマルチスケール点・チューブ接続理論（コーエン・ポホアタ・ザハロフ）	小面積の三角形が存在しないという条件を、複数のスケールにわたる点と細い帯（ $\delta$ -チューブ）の接続数の下界へと変換し、上界の指数を $8/7$ から $7/6$ へと引き上げた。	2段階の接続議論では点の対とそれらが定める帯しか追跡できず、指数 $2$ 付近に到達するにはより高次の多点相関を制御する必要がある。
半ランダム・ハイパーグラフ独立集合法（アイタイ・コムローシュ・ピンツ・スペンサー・セメレディ）	短い閉路が少ない小面積3点組の $3$ -一様ハイパーグラフ内に大きな独立集合を見いだし、エルデシュの $1/n^2$ 構成に対して $\log n$ 因子の改善を達成した。	面積の閾値が $\gg \log n / n^2$ を超えると、ハイパーグラフ内の三角形が辺を共有して密な局所クラスターを形成し、疎なハイパーグラフの条件が崩れる。

未解決の問い

$\Delta(n)$ の真の漸近オーダーは $\Theta(\log n / n^2)$ に等しいか、それともある $\delta > 0$ に対して $\Delta(n) \ge n^{-2 + \delta}$ を達成する点配置が存在するか。

参考文献

János Komlós, János Pintz, Endre Szemerédi (1982). A lower bound for Heilbronn's problem · DOI:10.1112/jlms/s2-25.1.13
Alex Cohen, Cosmin Pohoata, Dmitrii Zakharov (2023). A new upper bound for the Heilbronn triangle problem · arXiv:2305.18253
Alex Cohen, Cosmin Pohoata, Dmitrii Zakharov (2024). Lower bounds for incidences · arXiv:2409.07658 [プレプリント・未査読]