ホッジ予想

2026年現在、ホッジ予想は一般には未解決である。余次元1の場合はレフシェッツの $(1,1)$ 定理(1924年)によって完全に解決されており、余次元が $\dim X$ の場合はポアンカレ双対性により自明である。アーベル多様体——豊富な自己準同型構造を持つため長らく重要な試験場であった——については、次元5までのすべての場合で予想が成り立つことが分かっている。テイトは1つの楕円曲線のべき乗を扱い、タンキーエフとリベットは素数次元の単純アーベル多様体を扱い、ドリーニュは絶対ホッジ類の理論によりCM型の多様体で証明し、そして2025年にマークマンが割線層を用いてそれまで謎であったヴェイユ類の代数サイクルを構成することで次元4と5を完成させた。次元5を超える場合、および低次元を超える一般の(非アーベル)多様体については、比肩する手法は知られておらず、整数版の精密化はすでに偽であることが分かっている(アティヤ–ヒルツェブルフ、1962年)ため、いかなる証明も位相的な係数だけでなく有理数係数の実際の代数サイクルを生成しなければならない。