内接正方形問題（テプリッツ予想）

2026年現在、テプリッツの内接正方形問題は、一般の連続な（たとえばフラクタルや至るところ微分不可能な）ジョルダン曲線 $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ に対しては未解決のままである。滑らかなジョルダン曲線については、ジョシュア・エヴァン・グリーンとアンドリュー・ロブ（`arXiv:2005.09193`、2021年に Annals of Mathematics に掲載）がすべての縦横比に対する長方形内接予想を証明し、その後すべての円内接四角形へ拡張した。2024年（`arXiv:2407.07798`）には、グリーンとロブがジョルダン・フレアホモロジーのスペクトル不変量を導入し、タオのリプシッツグラフ内接定理のリプシッツ定数の上限を $1$ から $1 + \sqrt{2}$ へと引き上げた。一般の連続曲線における最大の障害は、連続曲線を滑らかな曲線列 $\gamma_k \to \gamma$ で近似した際、$\gamma_k$ 上の内接正方形の辺長が極限で $0$ に潰れてしまう可能性を排除できない点にある。