未解決問題、代数学、1892年に提起

逆ガロア問題

未解決

任意の有限群 $G$ は、有理数体 $\mathbb{Q}$ のある有限ガロア拡大 $K$ のガロア群 $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ として実現できるか。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、 $\mathbb{Q}$ 上の一般の逆ガロア問題は未解決のままである。すべての可解群は実現されており（シャファレヴィチ 1954年）、さらに2026年8月の黄（Huang）、ジャクソン、李（Lee）、プーネン、プリーズ、張（Zhang）によるプレプリントが、非剛性な共役類の3つ組と数値的ベリイ写像計算を用いて最後の未解決ケースであったマシュー群 $M_{23}$ を実現し、散在型単純群のプログラムを完結させた。しかし、リー型の有限単純群の無限族（任意の $n$ と $q$ に対する $\operatorname{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$ など）や一般の非可解群の拡大は依然として未解決である。

既知の最良の結果

すべての有限可解群は $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として実現される（シャファレヴィチ 1954年）。
全26個の散在型有限単純群が $\mathbb{Q}$ 上で実現されている（1984〜1989年にトンプソン、マッツァト、マレ、パーリングスらにより剛性法で25個が実現され、2026年の黄・ジャクソン・李・プーネン・プリーズ・張のプレプリントにより $M_{23}$ が実現された）。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
ヒルベルトの既約性定理とトンプソンの剛性法	$G$ の有理共役類の剛性組から $\mathbb{Q}(t)$ の正則ガロア拡大を構成し、 $S_n$ 、 $A_n$ 、25個の散在型単純群、および多くの古典的リー型群を実現した	任意の有限体 $\mathbb{F}_{p^r}$ 上の多くのリー型単純群は有理的な剛性組を持たず、また剛性は一般の群拡大へ自動的に持ち上がらない
コホモロジー的埋め込み問題とパッチングによるガロア表現	すべての可解群に対する逆ガロア問題を解決し（シャファレヴィチ）、保型形式や保型表現を用いて特定の合同類に対する線形群 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_{p^r})$ を実現した	ブラウアー–マニン障害や一般の保型リフト定理の欠如により、すべての非可換拡大や高階リー型群を一律に実現することができない

未解決の問い

すべての有限単純群（特に任意の素数 $p$ と指数 $r \ge 1$ に対する $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_{p^r})$ ）を $\mathbb{Q}(t)$ 上の正則ガロア群として実現できるか。

参考文献

Jean-Pierre Serre (1992). Topics in Galois Theory
Gunter Malle, B. Heinrich Matzat (1999). Inverse Galois Theory · DOI:10.1007/978-3-662-12123-8
Xiaoyu Huang, Blake Jackson, Kyu-Hwan Lee, Bjorn Poonen, Rachel Pries, Shaowu Zhang (2026). The Mathieu group M23 is a Galois group over Q · arXiv:2608.08538 [プレプリント・未査読]