未解決問題、代数学, 解析学、1939年に提起

ヤコビアン予想

部分的に解決スメイル #16

標数 $0$ の体 $k$ （同値な条件として $k = \mathbb{C}$ ）上の多項式写像 $F = (f_1, \dots, f_n) : k^n \to k^n$ について、そのヤコビ行列式 $\det\!\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)$ が $k^\times$ に属する非零定数であるとする。このとき $F$ は必ず多項式逆写像 $G : k^n \to k^n$ を持つか。

研究の最前線 2026年時点

2026年7月、レヴェント・アルポゲは $\mathbb{C}^3$ 上のいたるところでヤコビ行列式が定数 $-2$ でありながら一般の点で $3$ 対 $1$ となる明示的な多項式写像 $F(x,y,z) = ((1+xy)^3 z + y^2(1+xy)(4+3xy),\, y + 3x(1+xy)^2 z + 3xy^2(4+3xy),\, 2x - 3x^2 y - x^3 z)$ を構成し、すべての次元 $n \ge 3$ において一般のヤコビアン予想を否定的に解決した。その結果、2026年時点で未解決として残っているのは2次元の平面ヤコビアン予想（ $n = 2$ ）のみである。

既知の最良の結果

アルポゲ（2026年）： $n = 3$ における次数 $5$ の明示的な反例により、ヤコビアン予想はすべての次元 $n \ge 3$ で偽である。
次元 $n = 2$ においては、体の拡大 $\mathbb{C}(x,y)/\mathbb{C}(f,g)$ がガロア拡大である場合（キャンベル、1973年）、次数が高々 $104$ である場合（莫、1983年；グエン、2025年）、あるいは $\gcd(\deg f, \deg g)$ が素数または $16$ 以下である場合（アビヤンカル、アペルゲイト・大西、永田）に予想が成り立つ。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
ニュートン多角形と無限遠における近似根（アビヤンカル・莫・永田）	次数 $104$ 以下の平面の反例を排除し、仮想的な平面反例の次数比 $\deg f / \deg g$ を強く制限した	無限遠における特異枝の組合せ論的爆発により、 $n = 2$ における任意の合成数次数の組を尽くすことができない
次数低減とべき零ヤコビ行列（バス・コネル・ライト）	次元 $n$ を増やす代償として一般の問題を3次斉次写像 $x + H(x)$ に帰着させた	安定化は次元 $n$ を増加させるが $n \ge 3$ では予想が偽であるため、高次元の次数低減では $n = 2$ を解決できない

未解決の問い

平面ヤコビアン予想（ $n = 2$ ）は、ヤコビ行列式が非零定数であるすべての多項式写像 $F : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ に対して成り立つか。
第1ディクスミエ予想は成り立つか。すなわち第1ワイル代数 $A_1(\mathbb{C})$ のすべての代数自己準同型は自己同型であるか。

参考文献

Ott-Heinrich Keller (1939). Ganze Cremona-Transformationen · DOI:10.1007/BF01704923
Hyman Bass, Edwin H. Connell, David Wright (1982). The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse · DOI:10.1090/S0273-0979-1982-15032-7
Arno van den Essen (2000). Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture