未解決問題、代数学、1957年に提起

群環に関するカプランスキーの予想

部分的に解決

$K$ を体、 $G$ をねじれのない群とする。単位元予想は、群環 $K[G]$ のすべての単元が自明である、すなわち $k \in K \setminus \{0\}$ 、 $g \in G$ に対して $kg$ の形であると主張する。零因子予想は、 $K[G]$ に非自明な零因子が存在しないと主張する。べき等元予想は、 $K[G]$ に $0$ と $1$ 以外のべき等元が存在しないと主張する。単位元予想は零因子予想を含意し、零因子予想はべき等元予想を含意する。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、単位元予想はすべての標数において偽であると完全に決着している（ガーダム 2021年、マレー 2021年、ガーダム 2023年）。零因子予想とべき等元予想は一般のねじれのない群に対して未解決のままであるが、初等従順群、ねじれのない双曲群（ファレル–ジョーンズ予想経由）、アティヤ予想を満たす群については証明されている。現在の研究はガーダム型単元の最小台サイズの探索や、一意積類似の群に対する類似の非自明単元の存在についても続けられている。

既知の最良の結果

単位元予想はすべての体上で偽である。 $\mathbb{F}_2[P]$ には台のサイズ $21$ の明示的な反例が存在し（ガーダム 2021年）、これはすべての $\mathbb{F}_p[P]$ （マレー 2021年）と $\mathbb{C}[P]$ （ガーダム 2023年）へ拡張された。
零因子予想はすべての初等従順群で成り立ち、標数0ではアティヤ予想を満たすすべての群で成り立つ。べき等元予想はファレル–ジョーンズ予想を満たすすべての群（すべての双曲群やCAT(0)群を含む）で成り立つ。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
SATソルビングと語球上のコンピュータ探索	$\mathbb{F}_2[P]$ 上の単位方程式をブール充足可能性インスタンスとして符号化することで、単位元予想に対する最初の明示的な反例を発見した	計算探索のコストは台のサイズや群の複雑さに対して急速に増大するため、一般のねじれのない群、特に標数0の体上での検証は困難である
Ore整域論およびアティヤ／ファレル–ジョーンズ予想の道具立て	$K[G]$ をOre局所化や $L^2$ -コホモロジーと関連付けることで、初等従順群、双曲群、CAT(0)群に対する零因子予想とべき等元予想を証明する	従順性、双曲性、あるいはファレル–ジョーンズ／アティヤ予想といった構造的仮定を必要とし、それらは既知の群のクラス以外では未証明または偽である

未解決の問い

零因子予想はすべてのねじれのない群で成り立つか、それとも単位元予想と同様に反例が存在するか。
任意のねじれのない群 $G$ に対する $\mathbb{F}_2[G]$ 内の非自明な単元の最小台サイズはいくらか。プロミスロー群において $21$ は最適な値か。

参考文献

Giles Gardam (2021). A counterexample to the unit conjecture for group rings · DOI:10.4007/annals.2021.194.3.9 · arXiv:2102.11818
Alan D. Murray (2021). Zero divisors and idempotents in group rings · arXiv:2106.02147
Giles Gardam (2023). Non-trivial units of complex group rings · arXiv:2312.05240 [プレプリント・未査読]