n² + 1 型の素数(ランダウの第4問題)

2026年現在、ランダウの第4問題は未解決のままであり、次数 $\ge 2$ の1変数多項式が無限に多くの素数を表すことはいまだに証明されていない。数列 $\{n^2 + 1 : n \le x\}$ は $x$ 以下に $\sqrt{x}$ 個の元しか持たず、現在扱えるいかなる短区間 $[x, x + x^\theta]$ よりもはるかに疎であるうえ、古典的な篩の手法はパリティの壁に阻まれて素数($P_1$)と2つの素数の積($P_2$)とを区別できない。無条件での金字塔は依然として1978年のヘンリク・イヴァニエツの定理であり、$n^2 + 1$ が無限にしばしば概素数 $P_2$ となり $\#\{n \le x : n^2 + 1 \in P_2\} \gg x / \log x$ が成り立つことを示している。第2のアプローチは最大素因数 $P^+(n^2 + 1)$ を下から評価するもので、もし無限にしばしば $P^+(n^2 + 1) > n^2$ を示せれば $n^2 + 1$ 自身が素数となる。ヨリ・メリコスキ(2023年、arXiv:1908.08816)はこの指数を押し上げ、無限にしばしば $P^+(n^2 + 1) \ge n^{1.279}$ (さらに後続の研究で $1.312$)となることを示した。一方、密度 $x^{3/4}$ や $x^{2/3}$ を持つ2変数多項式に対してはパリティの壁が破られており、フリードランダーとイヴァニエツ(1998年)は $a^2 + b^4$ 型の素数が無限に存在することを、ヒース=ブラウン(2001年)は $a^3 + 2b^3$ 型の素数が無限に存在することを証明している。