未解決問題、算術と数論, 代数学、1967年に提起

ラングランズ・プログラム

部分的に解決

大域体 $F$ 上の任意の簡約代数群 $G$ に対し、 $G(\mathbb{A}_F)$ の保型表現とラングランズ双対群 ${}^L G$ への $\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)$ のガロア表現との間に標準的な対応（相互律）を確立し、双対群間の準同型が任意の表現 $r$ に対して $L$ -関数 $L(s, \pi, r) = L(s, \rho, r)$ を保つような保型表現の整合的な移行（関手性）を誘導することを示せ。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、大域ラングランズ対応は関数体上の $\mathrm{GL}_n$ について証明されており（ドリンフェルト、ラフォルグ）、関数体上の一般の簡約群 $G$ についても保型側からガロア側へのパラメータ付けが確立されている（ヴァンサン・ラフォルグ、2018年）。2024年5月には、アリンキン、ベラルド、キャンベル、チェン、ファergeマン、ゲイツゴリ、リン、ラスキン、ローゼンブリュームが5部作の論文で不分岐な圏論的幾何学的ラングランズ予想の証明を発表した。一方、 $\mathbb{Q}$ などの代数体上では、テイラー・ワイルズのパッチング法やアーサーの内視的分類によって多くの古典的・志村型ガロア表現の保型性が知られているものの、一般の相互律と関手性は依然として大きく開かれたままである。

既知の最良の結果

関数体上の $\mathrm{GL}_n$ に対する大域ラングランズ対応（ローラン・ラフォルグ、2002年）および $p$ -進体上の $\mathrm{GL}_n$ に対する局所ラングランズ対応（ハリス・テイラー、エニアール、2000年）。
複素代数曲線上の簡約群 $G$ に対する不分岐な圏論的幾何学的ラングランズ予想の完全証明（ゲイツゴリ、ラスキンら、2024年）。
$p$ -進体上の一般の簡約群 $G$ に対するファルグ・フォンテーヌ曲線上の局所ラングランズ対応の幾何学化（ファルグ・ショルツェ、2021年）。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
アーサー・セルバーグ跡公式と内視理論	ゴ・バオ・チャウによる基本補題の証明と組み合わせることで、古典群（直交群、シンプレクティック群、ユニタリ群）から $\mathrm{GL}_n$ への関手的移行を確立した（アーサー、2013年）。	一般の関手性（内視理論を超えて）を示すには、内視群の比較に頼ることなく跡公式において一般の $L$ -関数の極を分離する必要がある。
テイラー・ワイルズのモジュラー性持ち上げとカレガリ・ゲラティのパッチング法	$\mathbb{Q}$ や総実体上の楕円曲線のモジュラー性、佐藤・テイト予想、および $\mathrm{GL}_2$ 表現の対称べきに対する潜在的保型性を証明した。	ガロア表現が志村多様体のコホモロジーに現れるか、あるいは $\mathbb{Q}$ 上で厳しい正則性や自己双対性の条件を満たす必要がある。

未解決の問い

代数体上のすべてのモチーフ的ガロア表現は、ある簡約群 $G$ の保型表現に対応するか。
代数体上において、すべての対称べき移行 $\mathrm{Sym}^n$ およびラングランズ双対群の一般の準同型に対してラングランズ関手性を証明できるか。

参考文献

Ngô Bảo Châu (2010). Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie · DOI:10.1007/s10240-010-0026-7
Stephen Gelbart (1984). An elementary introduction to the Langlands program · DOI:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6
Dennis Gaitsgory, Sam Raskin (2024). Proof of the geometric Langlands conjecture I: construction of the functor · arXiv:2405.03599 [プレプリント・未査読]