ルジャンドル予想

2026年現在、ルジャンドル予想は未解決である。$x = n^2$ とおくと区間 $(n^2, (n+1)^2)$ の長さは $2x^{1/2} + 1$ となるため、ルジャンドル予想はあらゆる短区間 $[x, x + 2x^{1/2}]$ に素数の存在を保証することを要求する。無条件での最も強い短区間素数定理はベイカー、ハーマン、ピンツ(2001年)によるもので、ハーマンの篩とディリクレ多項式に対するワットの平均値定理を組み合わせて、十分大きなすべての $x$ に対し $[x, x + x^{0.525}]$ に素数が含まれることを証明した。リーマン予想を仮定してさえ $p_{k+1} - p_k = O(p_k^{1/2} \log p_k)$ (クラメール、1920年)しか得られず、ルジャンドル予想の閾値には対数因子の分だけ届かない。概素数の方向では、陳景潤(チェン、1975年)が、区間 $[x, x + x^{1/2}]$ ——特に大きな $n$ に対する $[n^2, (n+1)^2]$ ——には素因数を高々2つしか持たない $P_2$ 数が常に含まれることを証明している。数値的には、最大素数間隔が $2^{64} \approx 1.84 \times 10^{19}$ を超える範囲まで検証されており、$n = 4 \times 10^9$ をはるかに超える領域までルジャンドル予想が確認されている。