未解決問題、組合せ論と離散数学, 算術と数論、1967年に提起

孤独なランナー予想

未解決

円周1の円形コースに $n$ 人のランナーが時刻0に同じ地点からスタートし、それぞれ異なる一定の速度で走るとする。ランナーが時刻 $t$ に孤独であるとは、そのランナーから他のすべてのランナーまでの円弧上の距離が少なくとも $\frac{1}{n}$ であることをいう。この予想は、すべてのランナーが何らかの時刻 $t > 0$ において孤独であると主張する。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、孤独なランナー予想は一般の $n$ に対して未解決である。2025年から2026年にかけての一連の計算機支援証明により、検証済み範囲がバラハス–セラ（2008年）の7人から13人まで拡張された。主な突破口は、マシュー・ローゼンフェルドのプレプリント（8人、arXiv:2509.14111；9人、arXiv:2512.01912）、タヌパット・トラクルトンチャイのプレプリント（9–10人、arXiv:2511.22427）、スンカウィチャイ–トラクルトンチャイのプレプリント（11–13人、arXiv:2604.23906）である。すべての証明は計算機支援であり、ふるい技法に依拠している。一般の $n$ に対する無条件の証明は知られていない。

既知の最良の結果

2026年時点で $n \le 13$ 人のすべてのランナーに対し、計算機支援証明により検証済み。
等差数列をなす速度に対して、またより一般に有界密度のボール集合内の速度に対して、予想が成立することが知られている。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
計算機支援ふるい / 網羅的な場合分け解析	対称性を除いたすべての速度構成の網羅的検証により、特定の小さい $n$ の値に対して予想を証明する。	探索空間が $n$ に対して超指数的に増大するため、根本的に新たな構造的洞察なしには大きな $n$ に対してこのアプローチは実行不可能である。
ボール集合と加法的組合せ論	より弱い密度型の結果を確立する：速度が有界密度の構造化された数論的集合に属するとき予想が成立する。	追加の構造なしに、任意の異なる整数速度に対して予想を強制することはできない。

未解決の問い

個々の場合を機械的に検証することなく、すべての $n$ を扱う統一された代数的または解析的証明戦略は存在するか。
ランナーが実数（非整数）速度を持つことが許されるとき予想は成立するか、あるいは非整数速度に対して反例を構成できるか。

参考文献

Jordi Barajas, Oriol Serra (2008). The lonely runner with seven runners · DOI:10.37236/772
Matthieu Rosenfeld (2025). The lonely runner conjecture holds for eight runners · arXiv:2509.14111 [プレプリント・未査読]
Tanupat Trakulthongchai (2025). Nine and ten lonely runners · arXiv:2511.22427 [プレプリント・未査読]
Touch Sungkawichai, Tanupat Trakulthongchai (2026). Eleven, twelve, and thirteen lonely runners · arXiv:2604.23906 [プレプリント・未査読]
Bela Bajnok (2007). The Lonely Runner Problem