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未解決問題、微分方程式と力学系, 解析学、1982年に提起

マンデルブロ集合の局所連結性予想（MLC）

未解決

二次多項式族 fc(z)=z2+cf_c(z) = z^2 + c に対するマンデルブロ集合を M={c∈C:sup⁡n≥1∣fc∘n(0)∣<∞}M = \{c \in \mathbb{C} : \sup_{n \ge 1} |f_c^{\circ n}(0)| < \infty\} とする。MM はすべての点 c∈Mc \in M において局所連結であるか（すなわち、すべての点 c∈Mc \in M が部分空間位相 M⊂CM \subset \mathbb{C} においていくらでも小さな連結近傍を持つか）。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、MLC予想は一般の形では未解決のままである。ヨッコズの定理により有限回くりこみ可能なすべてのパラメータ c∈Mc \in M は解決されており、MLCは無限回くりこみ可能なパラメータ（MM の小さなコピーの無限列の内部に入れ子になった点）に帰着されている。有界型、高次の原始型、および種々の衛星型組合せ構造に対しては（リュビッチ、カーン、アヴィラ、ドゥドコらの研究により）アプリオリ複素評価と局所連結性が確立されているが、一般の非有界な衛星型無限回くりこみ可能パラメータが最大の障壁として残っている。

既知の最良の結果

  • ヨッコズ（1990年）：マンデルブロ集合 MM は、高々有限回しかくりこみ可能でないすべてのパラメータ c∈Mc \in M において局所連結である。
  • リュビッチ（1997年）およびカーン・リュビッチ（2006–2009年）：有界組合せ型の無限回くりこみ可能なパラメータや装飾評価を満たす原始型無限回くりこみ可能パラメータにおいてMLCが成り立つ。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
ヨッコズ・パズルとパラパズルおよびグレッチュ環のモジュラス和有限回くりこみ可能なすべてのパラメータに対して、入れ子になったパラパズル片が一点に収縮することを証明した無限回くりこみ可能なパラメータでは、アプリオリな幾何学的評価が成り立たない限り連続するパズル階層間の円環が退化しうる
二次様くりこみ理論とカーン・リュビッチの被覆補題原始型および有界衛星型のくりこみに対してアプリオリ複素評価と剛性を確立した非有界な衛星型くりこみの連鎖では、標準的な被覆補題で制御できる以上に等角モジュラスが歪みうる

未解決の問い

  • 非有界な衛星型組合せ構造を持つ任意の無限回くりこみ可能な二次多項式に対して、アプリオリ複素評価は成り立つか。
  • マンデルブロ集合 MM において双曲的パラメータは稠密であるか（次数 22 における双曲性の稠密性予想）。

参考文献

  1. Adrien Douady, John H. Hubbard (1984). Étude dynamique des polynômes complexes (Première et deuxième parties)
  2. John H. Hubbard (1993). Local connectivity of Julia sets and bifurcation loci: three theorems of J.-C. Yoccoz
  3. Mikhail Lyubich (1997). Dynamics of quadratic polynomials, I–II · DOI:10.1007/BF02392711