メルセンヌ素数の無限性

2026年時点で、メルセンヌ素数の無限性は未解決である。知られているのはわずか52個で、GIMPS を通じてリュカ–レーマー・テストによりおよそ1億3600万までのすべての指数を検査して見つかったものである。レンストラ–ポメランス–ワグスタッフのヒューリスティックは、各 $M_p$ が素数である「期待」確率を素数 $p$ に対して $\frac{e^\gamma}{\ln 2}\cdot\frac{1}{p}$ とみなし、指数 $X$ までのメルセンヌ素数の個数はおよそ $\frac{e^\gamma}{\ln 2}\ln X$ 個──発散する、すなわち無限──と予測し、既知のリストとよく一致するが、これは確率モデルであって証明ではない。