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未解決問題、幾何学、1966年に提起

モーザーの虫問題

未解決

長さ 11 の任意の求長可能な平面曲線を合同変換（平行移動と回転）によって KK の内部に収めることができるような、面積 μ(K)\mu(K) が最小の可測領域 K⊂R2K \subset \mathbb{R}^2（多くの場合、さらに凸であることが要請される）を求めよ。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、モーザーの虫問題は凸版・非凸版ともに未解決であり、最適被覆の正確な形状も分かっていない。剛体変換のもとでの凸被覆については、最小面積 μconv\mu_{\text{conv}} は 0.232239≤μconv≤π/12≈0.26180.232239 \le \mu_{\text{conv}} \le \pi/12 \approx 0.2618 の範囲に絞り込まれている。非凸被覆を許す場合には、ノーウッドとプールの構成が面積 0.2604370.260437 を達成し、査読済みの最良の凸被覆を真に下回っているが、非凸被覆の面積の下限が区分的に滑らかな境界を持つ領域で達成されるかどうかさえ未解決である。

既知の最良の結果

  • 凸被覆において査読済みの最小面積の上界は、中心角 30∘30^\circ の単位扇形による μconv≤π/12≈0.261799\mu_{\text{conv}} \le \pi/12 \approx 0.261799（パンラクサとウィチラマラ、2021年）である。
  • 一般の可測被覆（非凸を許す場合）において知られている最小面積の上界は μ≤0.260437\mu \le 0.260437（ノーウッドとプール、2003年）である。
  • 凸普遍被覆に対する証明済みの最良の下界は μconv≥0.232239\mu_{\text{conv}} \ge 0.232239（カンダウィット、パゴナキス、スリスワスディ、2013年）である。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
有限テスト集合の凸包最適化（カンダウィット–パゴナキス–スリスワスディ）少数の明示的な曲線（単位線分、正三角形、長方形）の配置の凸包面積を最小化することで μconv≥0.232239\mu_{\text{conv}} \ge 0.232239 を確立したテスト曲線を増やすと剛体配置の配置空間の次元が指数関数的に爆発し、分枝限定法による厳密な計算機検証が困難になる
扇形および幾何学的トリミング（ウェッツェル、ノーウッド–プール、王、パンラクサ–ウィチラマラ）任意の単位曲線を回転させてその支持線と広がりを扇形または切り詰めた領域内に収められることを示し、査読済みの最良上界 π/12≈0.2618\pi/12 \approx 0.2618（凸）および 0.2604370.260437（非凸）を与えた手作業で設計された領域族と曲線の直径や幅に基づく十分条件に依存しており、最適境界の変分的な特徴づけが得られていない

未解決の問い

  • 単位長の平面曲線に対する凸な普遍被覆の正確な最小面積 μconv\mu_{\text{conv}} はいくらか。
  • 面積最小の非凸な可測被覆は存在するか、またその面積は μconv\mu_{\text{conv}} より真に小さいか。

参考文献

  1. Rick Norwood, George Poole (2003). An improved upper bound for Leo Moser's worm problem · DOI:10.1007/s00454-002-0774-3
  2. Chatchawan Panraksa, Wacharin Wichiramala (2021). Wetzel's sector covers unit arcs · DOI:10.1007/s10998-020-00354-x · arXiv:1907.07351
  3. Tirasan Khandhawit, Dimitrios Pagonakis, Sira Sriswasdi (2013). Lower bound for convex hull area and universal cover problems · DOI:10.1142/S0218195913500076 · arXiv:1101.5638