未解決問題、幾何学, 応用数学と計算数学、1966年に提起

ソファ問題

未解決

幅 $1$ のL字型通路の直角コーナーを、剛体運動（平行移動と回転）によって連続的に通過できる連結な平面領域 $S \subset \mathbb{R}^2$ の面積の上限 $A$ （ソファ定数）を決定せよ。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、ソファ問題は2024年11月にペク・ジノンが発表した119ページのプレプリント Optimality of Gerver's Sofa（`arXiv:2411.19826`、現在査読中）によって完全解決の目前にあると広く見なされている。ペクの原稿以前における査読済みの最良評価は、ジョセフ・ガーバーによる1992年の下界 $A_G \approx 2.2195316688$ と、ヨアヴ・カルスおよびダン・ロミクによる2018年のコンピュータ支援上界 $A \le 2.37$ であった。ペクの証明は純粋に解析的であり、任意の最適ソファが総回転角 $\pi/2$ の単調ソファでなければならないことを示し、通路の包絡線に対する単射性条件を確立した上で、グリーンの定理を用いて面積を二次汎関数 $Q(S)$ で上から評価し、ブルン・ミンコフスキー理論によって $Q(S)$ がガーバーのソファで一意に最大化されることを示している。

既知の最良の結果

ガーバーの18曲線片からなる解析的ソファが査読済みの下界 $A \ge A_G \approx 2.2195316688$ を与える（ガーバー、1992年）。
カルスとロミク（2018年）が査読済みの上界 $A \le 2.37$ を証明し、ペク・ジノンの2024年のプレプリント（`arXiv:2411.19826`）が厳密な等式 $A = A_G \approx 2.2195316688$ を主張している。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
包絡線微分方程式と局所面積変分（ガーバー、ロミク）	回転する通路の共通部分として局所的に面積が停留する図形を特徴づけ、ガーバーのソファやロミクの両利きソファの明示的な解析曲線を導出した。	局所的な変分条件だけでは、異なる位相的接触パターンや非単調な回転経路によってより大きな面積が達成される可能性を排除できない。
単射性条件とブルン・ミンコフスキー凹性（ペク、2024年プレプリント）	包囲ジョルダン曲線上のグリーンの定理で計算される二次汎関数 $Q(S)$ によって任意の単調ソファの面積を上から評価し、 $Q(S) \le A_G$ を示した。	学術誌での査読完了を待っている段階であり、また左右両方の角を曲がる必要があるコンウェイの両利きソファ問題は未解決のままである。

未解決の問い

ダン・ロミクが2018年に構成した面積 $\approx 1.644955$ の代数的ソファは、コンウェイの両利きソファ問題における一意な大域的最大解か。

参考文献

Jineon Baek (2024). Optimality of Gerver's Sofa · arXiv:2411.19826 [プレプリント・未査読]
Joseph L. Gerver (1992). On moving a sofa around a corner · DOI:10.1007/BF00181553
Yoav Kallus, Dan Romik (2018). Improved upper bounds in the moving sofa problem · DOI:10.1016/j.aim.2018.10.022 · arXiv:1706.06630
Dan Romik (2018). Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem · DOI:10.1080/10586458.2016.1270858 · arXiv:1606.08111