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未解決問題、微分方程式と力学系、2000年に提起

ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

未解決ミレニアム賞スメイル #15

R3\mathbb{R}^3 における非圧縮ナビエ–ストークス方程式 ∂tui+∑j=13uj∂jui=νΔui−∂ip,div⁡u=0,\partial_t u_i + \sum_{j=1}^3 u_j \partial_j u_i = \nu \Delta u_i - \partial_i p, \qquad \operatorname{div} u = 0, について、無限遠で急速に減衰する滑らかで発散のない初期速度 u0u_0 が与えられたとき、大域的に有界な運動エネルギーを持つ滑らかな解 (u,p)(u,p) は、すべての時刻 t≥0t \ge 0 について必ず存在するか。それとも、滑らかな解が有限時間で特異点を生じることがあるか。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、この問題はクレイが提示した4つの場合すべてにおいて完全に未解決である。弱(ルレイ–ホップ)解は大域的に存在することが知られており、部分正則性理論は起こりうる特異点集合の大きさに上限を与えるが、大域的な滑らかさも真の爆発の具体例も確立されていない。条件付き正則性判定条件(プロディ–セリン、ビール–ケイト–マジダなど)は、解のある種のノルムが有界であり続ければ滑らかさが従うことを示しているが、現在それを保証できる者はいない。

既知の最良の結果

  • ルレイ–ホップの弱解は、任意の有限エネルギー初期データに対して時間大域的に存在するが、その一意性と滑らかさは不明のままである。
  • カファレリ–コーン–ニーレンバーグ(1982年):起こりうる特異点の集合は、時空において放物型ハウスドルフ次元が高々1である。
  • 条件付き正則性判定条件(プロディ–セリン、ビール–ケイト–マジダ)は、速度や渦度のある種のノルムが有界であり続ければ滑らかさを保証するが、それらの有界性が先験的に成り立つかは分かっていない。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
エネルギー法/ルレイ–ホップ弱解有界なエネルギーを持つ弱解の時間大域的存在これらの弱解の一意性と滑らかさは不明である
部分正則性理論(カファレリ–コーン–ニーレンバーグ)起こりうる特異点集合の大きさに上限を与える特異点を完全には排除できず、大域的な滑らかさも示せない

未解決の問い

  • すべての滑らかな初期条件から、すべての時刻にわたって滑らかな解が存在するのか、それとも有限時間で爆発が起こりうるのか。
  • ルレイ–ホップ弱解は一意であるか。

参考文献

  1. Charles L. Fefferman (Clay Mathematics Institute) (2000). Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation
  2. Jean Leray (1934). Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace
  3. Luis Caffarelli, Robert Kohn, Louis Nirenberg (1982). Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations