奇数の完全数

2026年現在、奇数の完全数は1つも見つかっておらず、存在しうるかどうかは未解決のままである。非存在の直接証明の代わりに、仮に奇数の完全数 $N$ が存在した場合に満たすべき膨大な必要条件の網が築かれてきた。オイラーの定理により $N = q^k m^2$ ($q$ は $q \equiv k \equiv 1 \pmod{4}$ かつ $\gcd(q, m) = 1$ を満たす素数)の形をとり、$N > 10^{1500}$ かつ重複度を込めた素因数の総数は $\Omega(N) \ge 101$ であり(オシェム–ラオ、2012年)、$N$ は少なくとも $\omega(N) \ge 10$ 個($3 \nmid N$ なら $\omega(N) \ge 15$ 個)の相異なる素因数を持つ(ニールセン、2015年)。また最大素因数は $10^8$ を超え(後藤–大野、2008年)、2番目に大きい素因数は $10^4$ を超え、最大の素数べき成分は $10^{62}$ を超える。しかし、$\sigma(p^a) = \prod_{d \mid (a+1), d>1} \Phi_d(p)$ の円分多項式による因数分解は、素因数を合成数の擬似素数に置き換えた「擬似(スプーフ)」分解にも同じように通用してしまい、実際にデカルトの擬似例 $198585576189$ が存在するため、素数のより深い大域的性質を用いない限り、純粋に局所的な整除関係の連鎖だけではスプーフの壁を越えられない。