未解決問題、算術と数論、1734年に提起

ζ(5) および奇数ゼータ値の無理性

未解決

$\zeta(5) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5}$ は無理数であるか。より一般に、すべての整数 $k \ge 2$ に対して $\zeta(2k+1)$ は無理数(かつ超越数)であるか。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、無理数であることが証明されている具体的な奇数ゼータ値は依然として $\zeta(3)$ のみであり、 $\zeta(3)$ が超越数であるか、あるいは $\zeta(5)$ が無理数であるかは未解決のままである。ボール–リヴォアルおよびズディリンの超幾何構成の改良や、フィシュラー–シュプラング–ズディリン(2019年)の消去法により、 $\zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(2s+1)$ の中の無理数の個数に対する明示的な下界(例えば $\zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ のうち少なくとも $2$ つが無理数であること)が得られているが、分母を十分小さく保ったまま $\zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ を消去して $\zeta(5)$ 単独を分離できる一次形式の構成は知られていない。

既知の最良の結果

ボールとリヴォアル(2001年):奇数 $a \ge 3$ に対して、 $1, \zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(a)$ の $\mathbb{Q}$ 線形包の次元は少なくとも $\frac{1+o(1)}{1+\ln 2} \ln a$ である。
ズディリン(2001年):4つの数 $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ のうち少なくとも1つは無理数である。
フィシュラー、シュプラング、ズディリン(2019年): $\zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(2s+1)$ のうち少なくとも $2^{(1-o(1)) \frac{\ln s}{\ln \ln s}}$ 個の値が無理数である。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
整釣合型超幾何級数とネステレンコの一次独立性判定法(ボール–リヴォアル–ズディリン)	共通分母が $\mathrm{lcm}(1, 2, \dots, n)^d$ で抑えられる $1, \zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(2s+1)$ の小さな一次形式を構成し、次元の下界とズディリンの4値定理を証明する	$\zeta(2), \zeta(4), \dots$ を相殺するために必要な有理関数の対称性により、 $1$ と $\zeta(5)$ のみを残そうとすると指数 $d$ (したがって分母の増大 $e^{dn}$ )が解析的減衰を上回ってしまう
ハンケル行列式と正則モジュラー・パデ近似法(アペリー–ボイカーズ)	三重積分や重み $2$ および $4$ のモジュラー形式を通じて、 $\zeta(2)$ と $\zeta(3)$ に対するアペリーの漸化式を説明する	$\zeta(5)$ に対しては、自然な $5$ 重ボイカーズ型積分の算術的分母 $\mathrm{lcm}(1, \dots, n)^5$ が積分の幾何学的収束速度を上回ってしまう

未解決の問い

$\zeta(5)$ は無理数であるか。
$1, \pi, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \dots$ は $\mathbb{Q}$ 上代数的独立であるか。

参考文献

Roger Apéry (1979). Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)
Keith Ball, Tanguy Rivoal (2001). Irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs · DOI:10.1007/s002220100168
Wadim Zudilin (2001). One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational · DOI:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427
Stéphane Fischler, Johannes Sprang, Wadim Zudilin (2019). Many odd zeta values are irrational · DOI:10.1112/S0010437X1900722X · arXiv:1803.08905