3次元パーコレーションにおける相転移の連続性

既知の最良の結果

• 相転移の連続性（$\theta(p_c) = 0$）が厳密に証明されているのは $d = 2$（ケステン 1980年、ハリス 1960年）と $d \ge 11$（フィッツナー–ファン・デア・ホフスタッド 2017年、レース展開による）のみであり、物理的に重要な $d = 3$ を含む $3 \le d \le 10$ の場合は未解決である。
• 相転移の鋭さ（$p < p_c$ における指数的減衰）はあらゆる次元 $d$ で無条件に成り立ち（アイゼンマン–バースキーおよびメンシコフ 1987年）、超臨界的鋭さも今やあらゆる無限推移的グラフで成り立つ（ディスキン–エアソ–ラダクリシュナン–スダコフ–タシオン 2026年）が、どちらの結果も $\theta(p_c)$ の値そのものを決定するものではない。

使われた手法と限界

未解決の問い

• $\mathbb{Z}^3$ 上のベルヌーイ辺パーコレーションにおいて $\theta(p_c) = 0$ であるか。
• レース展開の手法が原理的に連続性の証明にまで押し進められる最小の次元 $d$ はいくらか、そして $d = 6$（予想される上部臨界次元）は平均場的挙動と非平均場的挙動の真の境界であるか。