シンツェルの仮説Hとブニャコフスキー予想

2026年時点で、ブニャコフスキー予想は次数 $\ge 2$ のいかなる単一多項式に対しても未解決であり、シンツェルの仮説Hもいかなる多項式の組($k \ge 2$)に対しても未解決である。最も近い無条件の結果は、素数性を概素数性へと緩めるもの($n^2+1$ が無限に多くの整数で高々2個の素因数をもつという1978年のイヴァニエッツの定理など)か、あるいは1変数多項式を2変数多項式に置き換えるもの(フリードランダー–イヴァニエッツの $a^2+b^4$ 定理(1998年)やヒース＝ブラウンの $a^3+2b^3$ 定理(2001年)など)である。一次形式の族 $\{x+h_1, \dots, x+h_k\}$ に対しては、メイナード–タオの篩(2013年)により、任意の $m$ に対して $k$ が十分大きければ少なくとも $m$ 個の一次形式が無限に多くの整数で同時に素数となることが示され、ディクソン予想の弱い存在命題が確立されている。