MathLabs

未解決問題、確率と統計、1949年に提起

自己回避歩行の臨界指数

未解決

cnc_n を原点から出発する Zd\mathbb{Z}^d 上の nnステップ自己回避歩行の総数、RnR_n を一様ランダムに選んだそのような歩行の始点–終点間距離の二乗平均平方根とする。n→∞n \to \infty のとき臨界指数 γ\gamma、ν\nu に対して cn∼Aμnnγ−1c_n \sim A \mu^n n^{\gamma - 1}、Rn∼BnνR_n \sim B n^{\nu} が成り立つことを証明し、次元 d=2d = 2 と d=3d = 3 におけるそれらの正確な値を決定せよ。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、平均場的指数 ν=1/2\nu = 1/2、γ=1\gamma = 1 は d≥5d \ge 5 で厳密に確立されており（原–スレイド 1992年）、上部臨界次元 d=4d = 4 における対数補正も繰り込み群の手法により厳密に証明されている（バウアーシュミット–ブリッジズ–スレイドおよび共同研究者）。d=2d = 2 では連結定数 μ=2+2\mu = \sqrt{2+\sqrt{2}}（デュミニル=コパン–スミルノフ 2010年）のみが正確に証明されており、ニーンハウスが予測した指数 ν=3/4\nu = 3/4、γ=43/32\gamma = 43/32 は、スケーリング極限の未証明の共形不変性と結びついた予想のままである。d=3d = 3 では指数の存在自体が証明されておらず、ましてやその値の計算もできていない。モンテカルロ推定では ν≈0.5876\nu \approx 0.5876、γ≈1.1568\gamma \approx 1.1568 とされている。

既知の最良の結果

  • 平均場的指数 ν=1/2\nu = 1/2、γ=1\gamma = 1 はレース展開により d≥5d \ge 5 で証明されており（原–スレイド 1992年）、指数 1/41/4 の対数補正が d=4d = 4 で厳密な繰り込み群解析により証明されている。
  • 六角格子上の連結定数は正確に μ=2+2\mu = \sqrt{2+\sqrt{2}} であることが証明されている（デュミニル=コパン–スミルノフ 2010年）が、それに付随する d=2d = 2 の臨界指数 ν,γ\nu, \gamma は依然として予想のままである。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
レース展開単純ランダムウォークの周りの収束する摂動級数を制御することで、d≥5d \ge 5 に対するガウス的平均場スケーリングと臨界指数を厳密に証明するd≈5d \approx 5 を下回ると展開係数が総和できないほど大きくなる。低次元では自己交差が頻繁になりすぎ、摂動級数が収束しないためである
予想される共形不変性とシュラム–レヴナー発展（SLE8/3_{8/3}）正確な2次元指数 ν=3/4\nu = 3/4、γ=43/32\gamma = 43/32 を予測し、自己回避歩行の予想されるスケーリング極限をパラメータ κ=8/3\kappa = 8/3 のSLEと同定する（ローラー–シュラム–ウェルナー 2004年、共形不変性を仮定）自己回避歩行のスケーリング極限の共形不変性自体が未証明であるため、指数の値を含むすべての帰結が条件付きのままである

未解決の問い

  • Z3\mathbb{Z}^3 上の自己回避歩行に対して、（述べられた漸近的な意味での）臨界指数 ν\nu、γ\gamma は存在するか、存在するとすればその正確な値は何か。
  • Z2\mathbb{Z}^2 上の自己回避歩行のスケーリング極限は共形不変であるか、そしてそれは SLE8/3\mathrm{SLE}_{8/3} に収束するか。

参考文献

  1. Neal Madras, Gordon Slade (1993). Random Walks in Random and Non-Random Environments
  2. Takashi Hara, Gordon Slade (1992). Self-avoiding walk in five or more dimensions I: The critical behaviour · DOI:10.1007/BF02096738
  3. Hugo Duminil-Copin, Stanislav Smirnov (2011). Conformal invariance of lattice models · arXiv:1109.1549
  4. Roland Bauerschmidt, David C. Brydges, Gordon Slade (2015). Logarithmic correction for the susceptibility of the 4-dimensional weakly self-avoiding walk: a renormalisation group analysis · arXiv:1403.7422