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未解決問題、解析学、1958年に提起

センドフ予想

部分的に解決

f(z)=(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)f(z) = (z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n) を複素係数を持つ次数 n≥2n \ge 2 の多項式とし、その零点 z1,…,znz_1, \dots, z_n がすべて閉単位円板 D‾={z∈C:∣z∣≤1}\overline{\mathbb{D}} = \{z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\} 内に含まれるとする。このとき、ff の各零点 zkz_k を中心とする半径 11 の閉円板 {z∈C:∣z−zk∣≤1}\{z \in \mathbb{C} : |z - z_k| \le 1\} は、少なくとも1つの ff の臨界点 ζ\zeta（すなわち f′(ζ)=0f'(\zeta) = 0 の解）を含むか。

研究の最前線 2026年時点

十分大きなすべての次数 n≥n0n \ge n_0 に対してセンドフ予想が成り立つというテレンス・タオの2020年の証明（2022年出版）により、原理的には中間的な有限個の次数 9≤n<n09 \le n < n_0 のみが未解決として残されている。しかし、着目する零点 zkz_k が 00 に近い領域においてタオの証明がコンパクト性と背理法を用いているため、定数 n0n_0 は非構成的（あるいは定量化しても天文学的に巨大）であり、解決済みの低次数 n≤8n \le 8 と漸近的な高次数領域の間には依然として隔たりがある。

既知の最良の結果

  • テレンス・タオ（2020/2022年）：ある絶対定数 n0n_0 が存在し、次数 n≥n0n \ge n_0 のすべての多項式に対してセンドフ予想が成り立つ。
  • ブラウンと項（1999年）：次数 2≤n≤82 \le n \le 8 のすべての多項式に対してセンドフ予想が成り立つ。
  • ボヤノフ、ラフマン、シナル（1985年）：すべての次数 n≥2n \ge 2 とすべての零点 zk∈D‾z_k \in \overline{\mathbb{D}} に対し、zkz_k から距離 (1+∣z1z2⋯zn∣)1/n≤21/n(1 + |z_1 z_2 \cdots z_n|)^{1/n} \le 2^{1/n} 以内に臨界点が存在する。

使われた手法と限界

手法達成したこと限界
グレースの非極性定理と対数微分評価（デゴ・チャレブグワ）∣zk∣|z_k| が 00 と 11 の両方から離れている場合に明示的な次数の評価のもとで予想を証明した∣zk∣→0|z_k| \to 0 または ∣zk∣→1|z_k| \to 1 の極限において明示的な次数の閾値 N(a)N(a) が発散する
ポテンシャル論、測度の掃散（balayage）およびコンパクト性（タオ）zk→0z_k \to 0 または ∣zk∣→1|z_k| \to 1 の場合に n→∞n \to \infty における零点と臨界点の漸近分布を制御した超べき・コンパクト性による議論からは、残りの次数を計算機で検証できるほど小さな閾値 n0n_0 が得られない

未解決の問い

  • タオの定理における高次数の閾値 n0n_0 を n0=9n_0 = 9 まで下げ、すべての次数 n≥2n \ge 2 に対してセンドフ予想の証明を完成させることができるか。

参考文献

  1. Terence Tao (2022). Sendov's conjecture for sufficiently-high-degree polynomials · DOI:10.4310/ACTA.2022.v229.n2.a3 · arXiv:2012.04125
  2. Johnny E. Brown, Guangping Xiang (1999). Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree at most eight · DOI:10.1006/jmaa.1999.6277
  3. Jérôme Dégot (2014). Sendov conjecture for high degree polynomials · DOI:10.1090/S0002-9939-2014-11888-0