4次元滑らかなポアンカレ予想

既知の最良の結果

• $S^4$ とホモトピー同値な任意の閉じた滑らかな $4$ 次元多様体は位相的に $S^4$ と同相であり（フリードマン、1982年）、有限個の $S^2 \times S^2$ との連結和をとれば標準的な $S^4 \# k(S^2 \times S^2)$ と微分同相になる（ウォール、1964年）。
• $S^4$ 内のすべてのリボン $2$-結び目、回転結び目、ツイスト回転結び目に沿ったグルック・ツイスト、および既知のカペル–シェーンソン族は、すべて標準的な $S^4$ と微分同相であることが証明されている（グルック 1962年、ゴードン 1976年、アクブルート 2010年、ゴンプ 2010年）。

使われた手法と限界

未解決の問い

• グルック・ツイスト $\Sigma_K$ が標準的な $S^4$ と微分同相にならないような、滑らかに埋め込まれた $2$ 次元球面 $K \subset S^4$ は存在するか。
• 滑らかに埋め込まれた任意の $3$ 次元球面 $S^3 \subset S^4$ は標準的な赤道と滑らかにイソトピックであるか（滑らかな $4$ 次元シェーンフリース問題）。