未解決問題、算術と数論、1904年に提起

ソフィー・ジェルマン素数の無限性予想

未解決

$2p+1$ も素数となるような素数 $p$ は無限に存在する。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、ソフィー・ジェルマン素数の無限性は未解決である。双子素数予想と同様に、この問題は2つの一次形式( $n$ と $2n+1$ )が同時に素数値をとるかを問うている。重み付き篩法により、 $2p+1$ が高々2個の素因数をもつ概素数( $P_2$ )となる素数 $p$ が無限に存在すること、およびソフィー・ジェルマン素数の逆数和が収束することが証明されている。しかし篩理論のパリティ障壁のため、既存の手法では $2p+1$ において素数と2つの素数の積を区別することができない。さらに、一次形式 $n$ と $2n+1$ は最高次係数が異なるため、メイナード–タオの有界ギャップの手法をそのまま適用して $(p, 2p+1)$ の形の素数対を得ることはできない。

既知の最良の結果

$2p+1$ が高々2個の素因数をもつような素数 $p$ は無限に存在する(重み付き線形篩による陳型の定理)。
篩法による上界評価から、 $x$ 以下のソフィー・ジェルマン素数の個数は $O(x / (\log x)^2)$ であり、ハーディ–リトルウッド予想のオーダーと一致する。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
重み付き線形篩(陳の手法)	$2p+1$ が素数または2つの素数の積となる素数 $p$ が無限に存在することを証明した。	篩理論におけるパリティ障壁のため、2つの素数の積を排除することができない。
ハーディ–リトルウッドの円周法と素数組の経験的予測	漸近的な個数 $2C_2 x / (\log x)^2$ を精密に予測し、 $10^{13}$ 以上までの数値計算とよく一致している。	$(p, 2p+1)$ のような二項問題では、劣弧上の指数和を無条件に制御することができない。

未解決の問い

ソフィー・ジェルマン素数は無限に存在するか、また $x$ 以下の個数は $2C_2 x / (\log x)^2$ に漸近するか。
任意の有限長の第1種カニンガム鎖は存在するか。

参考文献

Leonard E. Dickson (1904). A new extension of Dirichlet's theorem on prime numbers · DOI:10.1017/cbo9781139164986.005
G. H. Hardy, J. E. Littlewood (1923). Some problems of 'Partitio numerorum'; III: On the expression of a number as a sum of primes · DOI:10.1007/BF02403921
Paulo Ribenboim (1996). The New Book of Prime Number Records