未解決問題、算術と数論, 幾何学、1963年に提起

タイト予想

未解決

$X$ を素体上有限生成な体 $k$ 上の滑らかな射影多様体とし、素数 $\ell \ne \operatorname{char}(k)$ を固定する。 $\mathbb{Q}_\ell$ 係数の代数的サイクルからガロア不変な $\ell$ -進コホモロジー類への閉サイクル類写像 $\bigoplus_{r} \left(\operatorname{CH}^r(X) \otimes \mathbb{Q}_\ell\right) \to \bigoplus_r H^{2r}_{\mathrm{et}}(X_{\bar{k}}, \mathbb{Q}_\ell(r))^{\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)}$ は全射であるか。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、タイト予想は有限体（タイト 1966年）および数体（ファルティングス 1983年）上のアーベル多様体の因子、標数 $p \ne 2$ の有限体上のK3曲面の因子（ニガード–オーガス、マダプシ・ペラ、シャルル、モーリク 2012〜2014年）、および標数0（アンドレ 1996年、タンケエフ）について証明されている。一般のアーベル多様体上のより高い余次元のサイクルや、次元2を超える大半の滑らかな射影多様体については未解決のままである。

既知の最良の結果

有限体上（タイト 1966年）および数体上（ファルティングス 1983年、モーデル予想の基礎となる有限性定理を通じて）のアーベル多様体の因子に対して証明されている。
奇標数の有限体上のK3曲面の因子（ニガード、オーガス、シャルル、マダプシ・ペラ、モーリク 2012〜2014年）、および数体と $\mathbb{C}$ 上（アンドレ 1996年、久賀–サタケ対応を用いる）で証明されている。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
同種類の有限性定理とファルティングスの高さ	固定された同種類の中の同種なアーベル多様体の高さを抑えることにより、有限生成体上のアーベル多様体に対するタイト予想を証明する	アーベル多様体に特有の群構造とモジュライ理論に依存しており、一般の多様体上のより高い余次元のサイクルに対する既知の類似物は存在しない
久賀–サタケ対応と結晶的トレリ定理	K3格子を補助的なアーベル多様体のコホモロジーに埋め込むことで、K3曲面に対するタイト予想を既知のアーベル多様体の場合へと帰着させる	K3曲面の階数22・重さ2のホッジ構造に特有の手法であり、一般の高い重さのコホモロジーに対する類似の補助アーベル多様体構成は知られていない

未解決の問い

タイト予想は、アーベル曲面とK3曲面を超えて、有限体上の任意の滑らかな射影曲面の因子に対して成り立つか。
タイト予想は次元 $\ge 4$ のアーベル多様体上のより高い余次元の代数的サイクルに対して真であるか。

参考文献

John Tate (1965). Algebraic cycles and poles of zeta functions
John Tate (1966). Endomorphisms of abelian varieties over finite fields · DOI:10.1007/BF01404549
Gerd Faltings (1983). Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern · DOI:10.1007/BF01388432
Keerthi Madapusi Pera (2015). The Tate conjecture for K3 surfaces in odd characteristic · DOI:10.1007/s00222-014-0557-5