未解決問題、算術と数論、1849年に提起

双子素数予想

未解決ランダウ #2

$p+2$ も素数であるような素数 $p$ は無限に存在する。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、双子素数予想は未解決である。無条件の記録は $H_1 \le 246$ (Polymath8b、2014年)であり、連続する素数の間である偶数のギャップ(高々246)が無限回現れることを意味するが、必ずしもギャップ2とは限らない。一般化されたエリオット–ハルバースタム予想を仮定すると、これは $H_1 \le 12$ まで下がり、さらに強い形のもとでは $H_1 \le 6$ まで下がるが、これらはいずれも無条件には知られていない。これらの結果はすべて篩法に基づいており、「パリティ問題」に直面する:篩法だけでは、素因数の個数が奇数である数と偶数である数を区別できず、そのためこの経路では $H_1=2$ に到達したことは一度もない。

既知の最良の結果

無条件: $H_1 \le 246$ (Polymath8b、2014年)。チャン(2013年、 $70{,}000{,}000$ )とメイナード–タオの多次元篩(2013年)の上に築かれている。
一般化されたエリオット–ハルバースタム予想のもとで条件付き: $H_1 \le 12$ 、さらに強い変種のもとで $H_1 \le 6$ (Polymath8b、2014年)。
メイナード–タオの篩は、対だけでなく、任意の固定された $m$ に対して $m$ 個の素数からなる有界クラスターが無限に存在することも与える。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
GPY / メイナード–タオ多次元篩	無限に繰り返し現れる最小のギャップに対する、無条件で明示的な有限の上限を与える。現在は $246$ 。	篩理論のパリティ問題により、新たな構造的な入力なしにギャップ $2$ に到達することは阻まれている。
素数の分布に関する予想(エリオット–ハルバースタムとその一般化)	仮定すれば、条件付きの上限を $12$ 、より強い形のもとでは $6$ まで下げられる。	予想自体が証明されていないため、これらの上限は条件付きであり、無条件の証明に向けた真の進展ではない。
共同最適化(Polymath プロジェクト)	篩の重みとパラメータを絞り込み、チャンの論文からおよそ1年で無条件の上限を数千から $246$ まで引き下げた。	同じ手法の中で定数を最適化するだけでは、残る $246$ から正確な値 $2$ への差を埋めることはできない。

未解決の問い

現在おおよそ $246$ 未満の無条件の上限を阻んでいる篩理論のパリティ問題を打破する方法はあるか。
エリオット–ハルバースタム予想の証明は、実際にギャップ $2$ に到達するのに十分か、それとも近づける(例えば $6$ )だけか。

証明

メイナードの多次元篩法:素数の間の有界なギャップ(2013年)James Maynard, 2013難易度 5/5研究要約版

参考文献

Yitang Zhang (2014). Bounded gaps between primes
James Maynard (2015). Small gaps between primes · DOI:10.4007/annals.2015.181.1.7
D.H.J. Polymath (2014). Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes · DOI:10.1186/s40687-014-0012-7 · arXiv:1407.4897