未解決問題、位相幾何学(トポロジー)、1997年に提起

体積予想（結び目理論）

未解決

任意の結び目 $K \subset S^3$ に対し、 $J_N(K; q)$ を $J_N(\text{unknot}; q) = 1$ と正規化された $N$ -色付きジョーンズ多項式とする。このとき $\lim_{N \to \infty} \frac{2\pi}{N} \log \left| J_N\!\left(K; e^{2\pi i / N}\right) \right| = \operatorname{Vol}(S^3 \setminus K) = v_3 \|S^3 \setminus K\|$ が成り立つ。ただし $v_3 \approx 1.0149416$ は正則理想双曲四面体の体積であり、 $\|S^3 \setminus K\|$ は結び目補空間のグロモフ単体的体積（ $K$ が双曲結び目のときは双曲体積に一致する）である。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、カシャエフ–村上–村上の体積予想は一般には未解決であるが、いくつかの明示的な結び目および絡み目の族に対しては証明されている。厳密な証明が与えられている例には、8の字結び目 $4_1$ 、トーラス結び目、交差数が $7$ 以下の双曲結び目（大槻、2016–2018年）、非自明なトーラス結び目のホワイトヘッド二重化（鄭、2007年）、ボロミアン環、および特定のツイスト結び目や基本シャドウ絡み目の族がある。一般の双曲結び目における最大の困難は、多数の複素変数を含む振動的な状態和を制御し、偽の臨界点に支配されることなく鞍点法を適用するための解析的手法が不足している点にある。

既知の最良の結果

8の字結び目 $4_1$ 、すべてのトーラス結び目、交差数 $\le 7$ のすべての双曲結び目（大槻）、 $(2,p)$ 型トーラス結び目のホワイトヘッド二重化（鄭）、および基本シャドウ絡み目に対して厳密に証明されている。
$q = e^{2\pi i/r}$ （ $r$ は奇数）におけるトゥラエフ–ヴィロ不変量に対する陳–楊の体積予想は、基本シャドウ絡み目、八面体絡み目、および十分大きい係数を持つデーン充満に対して証明されている（ベレッティ、デチェリー、カルファgianni、楊）。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
ポアソン和公式と多次元鞍点法（横田、アンデルセン–ハンセン、大槻）	$J_N(K; e^{2\pi i/N})$ の状態和をファデーエフの量子ダイログ関数の周回積分に置き換え、その臨界点がサーストンの双曲貼り合わせ方程式を満たすことを用いて、交差数 $7$ 以下の結び目に対する予想と完全な漸近展開を証明した	交差数が増えると、極や実部がより大きい臨界点を横切ることなく幾何学的鞍点のみを通るように積分路を変形するために、結び目ごとの凸包解析やヘッセ行列の評価が必要となる
量子 $A$ -多項式とAJ予想（ガルファリディス、レ・トゥ・クオック・タン）	列 $J_N(K; q)$ が $q$ -ホロノミックであることを示し、 $q \to 1$ の極限における漸化式作用素を古典的な $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ 指標多様体および $K$ の $A$ -多項式と結びつけた	指標多様体上の体積レギュレータを通じて可能な指数的増大率の候補を決定するが、 $q = e^{2\pi i/N}$ においてどの分枝が主要項として支配的になるかまでは特定できない

未解決の問い

$S^3$ 内のすべての双曲結び目および双曲絡み目に対して体積予想は成り立つか。
グロモフ単体的体積が真に正である衛星結び目に対して、 $\frac{2\pi}{N}\log|J_N(K; e^{2\pi i/N})|$ は常に $v_3 \|S^3 \setminus K\|$ に収束するか。

参考文献

Rinat M. Kashaev (1997). The hyperbolic volume of knots from the quantum dilogarithm · DOI:10.1023/A:1007364912784 · arXiv:q-alg/9601025v1
Hitoshi Murakami, Jun Murakami (2001). The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot · DOI:10.1007/BF02392716 · arXiv:math/9905075v2
Hitoshi Murakami, Yoshiyuki Yokota (2018). An Introduction to the Volume Conjecture · DOI:10.1007/978-981-13-1150-5