バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)

ステップ1 — 反復列はコーシー列である。$x_0 \in X$ を固定し $x_n = T^n(x_0)$ とする。縮小性を繰り返し適用すると $d(x_{n+1},x_n) = d(T(x_n),T(x_{n-1})) \le q\,d(x_n,x_{n-1}) \le \dots \le q^n\,d(x_1,x_0)$。$m > n$ に対し、三角不等式を経路 $x_n, x_{n+1}, \dots, x_m$ に沿って連ねると $d(x_m,x_n) \le \sum_{k=n}^{m-1} d(x_{k+1},x_k) \le \sum_{k=n}^{m-1} q^k\,d(x_1,x_0) \le d(x_1,x_0)\sum_{k=n}^{\infty} q^k = d(x_1,x_0)\,\dfrac{q^n}{1-q}$($0 \le q < 1$ より等比級数の公式を使用)。$n \to \infty$ で $q^n \to 0$ となるため、この末尾評価は0に収束し、$(x_n)$ はコーシー列である。

ステップ2 — 完備性が極限を与え、連続性がそれを不動点にする。$X$ は完備なので、コーシー列 $(x_n)$ はある $x^* \in X$ に収束する。縮小不等式 $d(T(x),T(y)) \le q\,d(x,y)$ より $T$ は(リプシッツ)連続なので、$T(x^*) = T(\lim_n x_n) = \lim_n T(x_n) = \lim_n x_{n+1} = x^*$ となり、$x^*$ は不動点である。

ステップ3 — 一意性。$x^*$ と $y^*$ がともに不動点だとする。すると $d(x^*,y^*) = d(T(x^*),T(y^*)) \le q\,d(x^*,y^*)$ より $(1-q)\,d(x^*,y^*) \le 0$。$1-q>0$ なのでこれは $d(x^*,y^*)=0$、すなわち $x^*=y^*$ を強制する。

ステップ4 — 誤差評価。ステップ1の評価 $d(x_m,x_n) \le \dfrac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)$ で $m \to \infty$ とし $d$ の連続性を使うと、まさに $d(x_n,x^*) \le \dfrac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)$ を得る:$n$ 回後の真の不動点までの距離は等比的に縮小し、この評価は反復を1回も実行する前に計算できる。