一般の包除原理

任意の要素 $x$ を固定する。$x$ が $A_1,\ldots,A_n$ のどれにも属さなければ、両辺への寄与は $0$ なので、$x$ がちょうど $m\ge 1$ 個の集合に属すると仮定する。

各 $k$ について、$x$ を含む $k$ 重共通部分 $A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}$ の個数は、$x$ を含む $m$ 個の集合から $k$ 個を選ぶ方法の数、すなわち $\binom{m}{k}$ に等しい。したがって $x$ の右辺への総寄与は $\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\binom{m}{k}=\sum_{k=1}^m(-1)^{k+1}\binom{m}{k}$ である($k>m$ の項は $\binom{m}{k}=0$ のため消える)。

二項定理により $\sum_{k=0}^m(-1)^k\binom{m}{k}=(1-1)^m=0$ なので $\sum_{k=1}^m(-1)^k\binom{m}{k}=-1$ となり、$-1$ を掛けるとちょうど $\sum_{k=1}^m(-1)^{k+1}\binom{m}{k}=1$ が得られる。

したがって少なくとも一つの集合に属する各要素は右辺にちょうど $1$ を寄与し、これは $\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right|$ への $1$ の寄与と一致する。どの集合にも属さない要素は両辺に $0$ を寄与する。すべての要素が両辺に等しく寄与するので、両辺は等しい。