コーシー・シュワルツの不等式

ステップ1:補助的な二次式を立てる。 実変数 $t$ と式 $\sum_{i=1}^n (a_i t - b_i)^2$ を考える。これは実数の平方の和なので、任意の実数 $t$ について常に $\ge 0$ である:$\sum(a_i t - b_i)^2 \ge 0$。

**ステップ2:$t$ の二次式に展開する。** 展開すると $\sum (a_i t - b_i)^2 = t^2 \sum a_i^2 - 2t \sum a_i b_i + \sum b_i^2$。$A = \sum a_i^2$、$B = \sum a_i b_i$、$C = \sum b_i^2$ とおくと、式は任意の実数 $t$ について $At^2 - 2Bt + C \ge 0$ となる。

ステップ3:退化した場合を扱う。 $A = 0$ なら全ての $a_i = 0$ であり、示すべき不等式 $B^2 \le AC$ の両辺は $0$ なので、不等式は自明に成り立つ(等号成立)。

**ステップ4:$A > 0$ のとき判別式を用いる。** 正の主係数 $A$ を持つ二次式 $At^2 - 2Bt + C$ が任意の実数 $t$ について $\ge 0$ であるとき、実根は高々1つしか持てないため、判別式は正になり得ない:$(2B)^2 - 4AC \le 0$、すなわち $4B^2 \le 4AC$、すなわち $B^2 \le AC$。

ステップ5:結論。 代入し戻すと $\left(\sum a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$ となり、これがまさに $\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) \ge \left(\sum a_i b_i\right)^2$ である。等号成立は判別式がゼロ、すなわち二次式が実の重根 $t_0$ を持つとき、すなわち全ての $i$ について $a_i t_0 = b_i$ のとき——数列 $(a_i)$ と $(b_i)$ が比例するとき——に限る。