シューアの不等式($r=1$)

ステップ1:対称性による簡約。 式 $a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)$ は $a,b,c$ について対称なので、一般性を失うことなく $a \ge b \ge c \ge 0$ と仮定する。

ステップ2:最初の2項をまとめる。 $a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) = (a-b)\big[a(a-c) - b(b-c)\big]$ とまとめ、両項から共通因子 $(a-b)$ をくくり出す($b(b-a)(b-c) = -(a-b)\cdot b(b-c)$ に注意)。

ステップ3:括弧内を簡約する。 $a(a-c) - b(b-c) = a^2 - ac - b^2 + bc = (a^2-b^2) - c(a-b) = (a-b)(a+b) - c(a-b) = (a-b)(a+b-c)$ と展開する。

ステップ4:結合する。 代入し戻すと、まとめた項は $(a-b)\cdot(a-b)(a+b-c) = (a-b)^2(a+b-c)$ に等しい。したがって式全体は $(a-b)^2(a+b-c) + c(a-c)(b-c)$ に等しい(最後の項はまさに元の第3項そのまま)。

ステップ5:各部分の符号を確認する。 $a \ge b \ge c \ge 0$ なので:$(a-b)^2 \ge 0$ は常に成り立つ。$a+b-c$ の符号については、$a \ge c$ なので $a - c \ge 0$、かつ $b \ge 0$ なので $a+b-c = (a-c)+b \ge 0$。よって $(a-b)^2(a+b-c) \ge 0$。第2の部分については:$c \ge 0$、$a-c \ge 0$($a\ge c$ なので)、$b - c \ge 0$($b \ge c$ なので)であり、$c(a-c)(b-c) \ge 0$ は非負の3数の積である。

ステップ6:結論。 式全体は2つの非負項の和 $(a-b)^2(a+b-c) + c(a-c)(b-c) \ge 0$ であり、$r=1$ のシューアの不等式が証明された。等号成立には両方が消える必要がある:$a=b$(第1項を $0$ にする)かつ $c(a-c)(b-c)=0$(さらに $a=c$ なら $a=b=c$ を、$c=0$ なら $a=b, c=0$ を強制する)、これは述べた等号条件と一致する。