ベータ・二項共役性

$\theta$ を与えたとき $n$ 回中 $k$ 回の成功を観測する尤度は $L(k\mid\theta)=\binom{n}{k}\theta^k(1-\theta)^{n-k}$ である。上の事後分布比例定理により、$\pi(\theta\mid k)\propto L(k\mid\theta)\pi(\theta)=\binom{n}{k}\theta^k(1-\theta)^{n-k}\cdot\dfrac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$。

因子 $\binom{n}{k}$ と $B(\alpha,\beta)$ は $\theta$ に依存しないので、比例定数に吸収できる:$\pi(\theta\mid k)\propto\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}\cdot\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}=\theta^{(\alpha+k)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-k)-1}$。

この最後の式は、まさに $\mathrm{Beta}(\alpha+k,\beta+n-k)$ 密度のカーネル($\theta$ に依存する部分)である。このカーネルを持つ $(0,1)$ 上の確率密度は一意の正規化定数(すなわちベータ関数の定義による $1/B(\alpha+k,\beta+n-k)$)を持つので、事後分布は必ず $\pi(\theta\mid k)=\dfrac{\theta^{(\alpha+k)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-k)-1}}{B(\alpha+k,\beta+n-k)}$、すなわち $\theta\mid k\sim\mathrm{Beta}(\alpha+k,\beta+n-k)$ となる。