米田の補題

まず、すべての $x\in F(A)$ について $\Phi(\Psi(x))=x$ を確認する。定義を展開する:$\Psi$ の公式を $X=A$、$f=1_A$ に特殊化すると $\Psi(x)_A(1_A)=F(1_A)(x)$。$F$ は関手であるから、単位射 $1_A$ を $F(A)$ 上の恒等関数に送るので、$F(1_A)(x)=x$。よって $\Phi(\Psi(x))=\Psi(x)_A(1_A)=x$ となり、求める通りである——この方向は関手の単位律しか使わない。

次に、より難しい方向、すべての自然変換 $\eta:h_A\Rightarrow F$ について $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$ を確認する。両辺は自然変換 $h_A\Rightarrow F$ であるから、すべての対象 $X$ とすべての元 $f\in h_A(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$ で成分が一致することを示せば十分である。

$x:=\Phi(\eta)=\eta_A(1_A)$ を用いて $\Psi$ の公式で $\Psi(\Phi(\eta))_X(f)$ を展開すると、これは $F(f)(\eta_A(1_A))$ に等しい。

次に $\eta$ 自身の自然性を、$\eta_Y(f\circ g)=F(g)(\eta_X(f))$ の形で、$g:=f:X\to A$、もう一方の変数を $A$ として用いる:その自然性四角形で $f:=1_A\in h_A(A)$ とすると、まさに $\eta_X(1_A\circ f)=F(f)(\eta_A(1_A))$、すなわち $1_A\circ f=f$ であるから $\eta_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))$ が得られる。

最後の二つの式を組み合わせると:$\Psi(\Phi(\eta))_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))=\eta_X(f)$。$X$ と $f$ が任意であったため、二つの自然変換はどこでも一致し、$\Psi(\Phi(\eta))=\eta$ となる。最初の段落と合わせて、$\Phi$ と $\Psi$ は互いに逆な全単射である。