ブレニエの定理

（概略、Brenier 1991 に従う。）ステップ1：$c=|x-y|^2$ に対するカントロビッチ双対性により、最適ポテンシャルを $\varphi(x)=\tfrac12|x|^2-\tilde\varphi(x)$ を通じて書き直すと $\varphi$ は凸となり、そのルジャンドル変換 $\varphi^*(y)=\sup_x(x\cdot y-\varphi(x))$ が第二のポテンシャルの役割を果たす；双対制約は最適な $\gamma$ の台の上でちょうど $y\in\partial\varphi(x)$ となる。ステップ2：ロックアフェラーの定理は、$\mathbb R^n\times\mathbb R^n$ の任意の巡回単調な部分集合が、ある凸で下半連続な $\varphi$ の $\partial\varphi$ のグラフに含まれることを述べる；最適計画の台が巡回単調であるのは、$\gamma$ が $\int|x-y|^2\,d\gamma$ を最小化するため、台の上の有限個の対の間でどのように組み替えても $\sum_i|x_i-y_i|^2$ を厳密に減らせないからである。ステップ3：$\mu\ll$ ルベーグ測度であるため、アレクサンドロフの定理により $\varphi$ は $\mu$-ほとんど至るところで微分可能であり、したがって $\gamma$ はグラフ $\{(x,\nabla\varphi(x))\}$ 上に集中する、すなわち $\gamma=(\mathrm{id},\nabla\varphi)_{\#}\mu$ となる。これにより決定論的な最適写像 $T=\nabla\varphi$ が得られ、それはモンジュの問題も解くことになり、コストの狭義凸性により他のどんな最適写像も $\mu$-ほとんど至るところでこれと一致しなければならない。