コンパクト集合の連続像はコンパクトである

ステップ1 — $f(K)$ の任意の開被覆を引き戻す。$\{V_i\}_{i \in I}$ を $Y$ における $f(K)$ の任意の開被覆、すなわち $f(K) \subseteq \bigcup_i V_i$ とする。$f$ は連続なので各 $f^{-1}(V_i)$ は $X$ で開である。すべての $x \in K$ について $f(x) \in f(K)$ はある $V_i$ に属するので $x \in f^{-1}(V_i)$ となり、$\{f^{-1}(V_i)\}_{i \in I}$ は $K$ の開被覆である。

ステップ2 — $K$ のコンパクト性を使い有限部分被覆を取り出す。$K$ はコンパクトなので、これらのうち有限個がすでに $K$ を覆う:$K \subseteq f^{-1}(V_{i_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{i_n})$ を満たす $i_1, \dots, i_n$ が存在する。

ステップ3 — 有限部分被覆を押し出す。両辺に $f$ を適用すると $f(K) \subseteq f\big(f^{-1}(V_{i_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{i_n})\big) \subseteq V_{i_1} \cup \dots \cup V_{i_n}$(常に $f(f^{-1}(V)) \subseteq V$ を使用)。よって $\{V_{i_1}, \dots, V_{i_n}\}$ は元の被覆から取った $f(K)$ の有限部分被覆である。$\{V_i\}$ は任意だったので、$f(K)$ はコンパクトである。

ステップ4 — 系:ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合である。$K \subseteq Y$ をコンパクト、$Y$ をハウスドルフとし、$y \notin K$ を任意に固定する。各 $x \in K$ について、ハウスドルフ分離性より互いに素な開集合 $U_x \ni x$ と $W_x \ni y$ が存在する。$\{U_x\}_{x \in K}$ は $K$ を覆うので、コンパクト性により有限個の $U_{x_1}, \dots, U_{x_n}$ がすでに $K$ を覆う。このとき $W = W_{x_1} \cap \dots \cap W_{x_n}$ は有限個の開集合の共通部分(よって開)であり、$y$ を含み、すべての $U_{x_j}$ と交わらないので $K \subseteq \bigcup_j U_{x_j}$ とも交わらない。よって $K$ の外側のすべての点は $K$ と交わらない開近傍を持ち、$K$ の補集合は開である、すなわち $K$ は閉集合である。