連結空間の連続像は連結である(一般化された中間値の定理)

ステップ1 — $f(X)$ が非連結であると仮定して矛盾を導く。このとき $f(X) = A \cup B$ となる互いに素で空でない集合 $A, B$ が存在し、それぞれ $f(X)$ の部分空間位相で開である:$Y$ に開集合 $A', B'$ が存在して $A = f(X) \cap A'$、$B = f(X) \cap B'$ となる。

ステップ2 — 分離を $X$ に引き戻す。$P = f^{-1}(A')$、$Q = f^{-1}(B')$ とする。$f$ は連続なので $P$ と $Q$ は $X$ で開である。すべての $x \in X$ について $f(x) \in f(X) = A \cup B$ なので $f(x) \in A'$ または $f(x) \in B'$、すなわち $x \in P$ または $x \in Q$:よって $X = P \cup Q$。また $P$ と $Q$ はともに空でなく($A, B$ が空でなく $f$ によって達成されるため)、$P \cap Q = \emptyset$ である($x \in P \cap Q$ ならば $f(x) \in A' \cap B' \cap f(X) = A \cap B = \emptyset$ となり矛盾)。

ステップ3 — 矛盾。$P$ と $Q$ は $X = P \cup Q$ を満たす互いに素で空でない開集合であり、これはまさに $X$ が非連結であるという定義である。これは $X$ が連結であるという仮定に矛盾する。よって $f(X)$ は非連結ではありえない:連結である。

ステップ4 — 区間の系。$\mathbb{R}$ の連結部分集合はちょうど区間である(標準的な事実:2点の間のある実数を飛ばす部分集合は、同じ開集合による分離で連結性を失う)。ステップ1–3より $f(X)$ は連結なので、$f(X)$ は $\mathbb{R}$ の区間であり、したがって任意の2元 $f(a)$ と $f(b)$ の間のすべての実数を含む——古典的な中間値の定理が、純粋に位相的な事実の特別な場合として見えてくる。