ヒルベルトの基底定理

ステップ1(先頭係数イデアル)。$I \subseteq R[x]$ をイデアルとする。各次数 $n \ge 0$ に対し、$L_n$ を $I$ の次数 $n$ の元の先頭係数全体と $0$ からなる集合とする。次数 $n$ の多項式に $x$ を掛けることで $L_n \subseteq L_{n+1}$ が分かり、各 $L_n$ は $R$ のイデアルである($I$ がイデアルであることから加法での閉性と $R$ 倍の吸収性が直接従う)。

ステップ2($R$ がネーター環であることを二度使う)。鎖 $L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \cdots$ はACCによりある $L_N$ で安定する。$R$ がネーター環なので $L_0,\ldots,L_N$ の各々は有限生成である;各 $L_n$($n=0,\ldots,N$)の有限個の生成元を選び、各生成元に対して、それを先頭係数として実現する次数 $n$ の多項式 $f_{n,i} \in I$ を選ぶ。これで全体として一つの有限リスト $\{f_{n,i}\}$ が得られる。

ステップ3(次数についての帰納法による簡約)。$I$ がこの有限リストで生成されることを示す。次数 $d$ の任意の $f \in I$ を取り、$d$ について帰納法を行う。$d \le N$ ならば $f$ の先頭係数は $L_d$ に属するので $f_{d,i}$ の先頭係数の $R$ 結合であり、対応する $f_{d,i}$ の $R$ 結合を $f$ から引くと次数 $d$ の項が消え、$I$ のより次数の低い元が得られ、帰納法が進む。$d > N$ ならば $f$ の先頭係数は $L_d = L_N$ に属するので $f_{N,i}$ の先頭係数の $R$ 結合であり、対応する $x^{\,d-N} f_{N,i}$ の結合を引くと先頭項が消え、次数が真に下がる。

ステップ4(結論)。ステップ3を繰り返すと最終的に零多項式に至るので、$f$ は有限リスト $\{f_{n,i}\}$ の $R[x]$ 結合である。よって $R[x]$ のすべてのイデアルは有限生成であり、すなわち $R[x]$ はネーター環である。これをネーター環 $k$ から出発して $n$ 回帰納的に適用すると、$k[x_1,\ldots,x_n] = k[x_1][x_2]\cdots[x_n]$ がネーター環であることが分かる。