ヒルベルトの零点定理

ステップ1(入力として使う弱い零点定理)。$k$ が代数閉体であるから、$k[x_1,\ldots,x_n]$ のすべての極大イデアルはある点 $(a_1,\ldots,a_n) \in k^n$ に対して $(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)$ の形をしている;これはザリスキの補題(体 $k$ 上の代数として有限生成な体は $k$ の有限次拡大であり、$k$ が代数閉体なので $k$ 自身に等しい)により証明される。したがって $J \ne (1)$ ならば $J$ はある極大イデアルに含まれ、$V(J) \ne \emptyset$ となる。

ステップ2(易しい包含関係、$\sqrt{J} \subseteq I(V(J))$)。ある $m$ に対して $f^m \in J$ ならば、$f^m$ は $V(J)$ のすべての点で消え、体の元の積が $0$ になるのはある因子が $0$ の場合のみだから $f$ 自身もそこで消え、$f \in I(V(J))$ となる。

ステップ3(逆の包含関係へのラビノヴィッチのトリック)。$f \in I(V(J))$ とする。新しい変数 $y$ を導入し $J' = J + (1 - yf) \subseteq k[x_1,\ldots,x_n,y]$ を作る。$V(J')$ の任意の点は($J$ の生成元を満たすため)$V(J)$ に属さねばならず、かつ $1-yf=0$ も満たさねばならない;しかし $f$ は $V(J)$ 全体で消えるのでそこでは $1-yf=1$ となり、決して $0$ にならない。よって $V(J') = \emptyset$ であり、ステップ1の対偶により $J' = (1)$ である:$J$ の生成元 $J_i$ に対して $1 = h(x,y)(1-yf) + \sum_i g_i(x,y) J_i(x)$ を満たす多項式が存在する。

ステップ4(分母を払う)。この等式に形式的に $y = 1/f$ を代入する($k[x_1,\ldots,x_n][1/f]$ で作業する)——$h$ を含む項は $1-yf$ が $0$ になるため消え、$1 = \sum_i g_i(x,1/f) J_i(x)$ が残る。$g_i$ によって生じるすべての分母 $f$ を払うのに十分高いべき $f^m$ を両辺に掛けると、ある多項式 $\tilde g_i$ に対して $f^m = \sum_i \tilde g_i(x) J_i(x) \in J$ が得られ、すなわち $f \in \sqrt{J}$ である。ステップ2と合わせて $I(V(J)) = \sqrt{J}$ が得られ、$J=\sqrt J$ のとき両辺の根基をとると述べられた系 $\sqrt{I(V(J))} = J$ が得られる。